题目内容
4．如图所示，BC是一段光滑圆轨道，DE为半圆形光滑轨道，两圆弧轨道半径均为R，固定于竖直平面内，一滑板板长l=6.5R，静止在光滑的底面上，右端紧靠C点，板左端到D点的距离L在R＜L＜5R范围内取值，上表面所在平面与两圆弧分别相切于C，D两点，一质量为m的物块以v0=2$\sqrt{2gR}$的初速度由B点沿BC圆弧轨道滑下，再经C点滑上滑板，滑板运动到D点时被牢固粘连，若滑板质量M=2m，BC间的高度h=$\frac{R}{2}$，物块与滑板间的动摩擦因数为为μ=0.5，重力加速度取g，求：（结果用字母m、g、R、L表示）
（1）求物块滑到C点时所受圆弧轨道的支持力的大小；
（2）试讨论物块从滑上滑板到离开左端的过程中，克服摩擦力做的功Wf与L的关系；并判断物块能否滑到DE轨道的中点．
分析 （1）先由动能定理求出物块滑到C点时的速度．在C点，由合力提供向心力，根据牛顿第二定律求轨道的支持力．
（2）物块从C滑上滑板后开始做匀减速运动，此时滑板开始做匀加速直线运动，当物块与滑板达共同速度v2时，二者开始做匀速运动，由动量守恒定律求得共同速度，分别对物块和滑板运用动能定理求得各自的位移，得到二者的相对位移，分：R＜L＜2R和2R≤L＜5R两个范围，求克服摩擦力做的功Wf与L的关系，并判断物块能否滑到DE轨道的中点．
解答 解：（1）设物块滑到C点的速度为v1．
从B到C，由动能定理得 mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
结合v0=2$\sqrt{2gR}$，h=$\frac{R}{2}$，解得 v1=3$\sqrt{gR}$
在C点，根据牛顿第二定律得
FN-mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
解得 FN=10mg
（2）物块从C滑上滑板后开始做匀减速运动，此时滑板开始做匀加速直线运动，当物块与滑板达共同速度v2时，二者开始做匀速运动，取向左为正方向，由动量守恒定律得 mv1=（m+M）v2．
解得 v2=$\sqrt{gR}$
对物块，根据动能定理有-μmgl1=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
对滑板，根据动能定理有 μmgl2=$\frac{1}{2}M{v}_{2}^{2}$
解得 l1=8R，l2=2R
物块相对滑板的位移△l=l1-l2=6R＜l
即物块与滑板在达到共同速度时，物块未离开滑板．
讨论：
①当R＜L＜2R，物块在滑板上一直匀减速运动至D，运动的位移为 6.5R+L，克服摩擦力做的功
Wf=μmg（6.5R+L）=$\frac{1}{4}$mg（13R+2L）
设滑物块上D点的速度为vD．根据动能定理有-μmg（6.5R+L）=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
解得 $\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$=$\frac{1}{2}$mg（2.5R-L）＜mgR
所以物块不可能滑到DE轨道的中点．
②当2R≤L＜5R，物块先匀减速运动8R，然后匀速运动L-2R，再匀减速运动0.5R，克服摩擦力做功为
Wf=μmg（8R+0.5R）=$\frac{17}{4}$mgR
设滑上D点的速度为vD′，根据动能定理有-μmg（8R+0.5R）=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{′2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
解得 $\frac{1}{2}m{v}_{D}^{′2}$=$\frac{1}{4}$mgR＜mgR
所以物块不可能滑到DE轨道的中点．
答：
（1）物块滑到C点时所受圆弧轨道的支持力的大小是10mg；
（2）物块从滑上滑板到离开左端的过程中，当R＜L＜2R时，克服摩擦力做的功Wf与L的关系为：Wf=$\frac{1}{4}$mg（13R+2L），物块不可能滑到DE轨道的中点．
当2R≤L＜5R时，Wf=$\frac{17}{4}$mgR，物块不可能滑到DE轨道的中点．
点评 本题是复杂的力学综合题搞清物块和滑板的运动过程是解答的关系，当物块在滑板上滑行时，要注意分析能否达到共同速度．
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为研究平抛物体的运动，可做如图所示的实验．用小锤打击弹性金属片，A球就水平飞出，同时B球被松开，做自由落体运动．在不同高度多次重复该实验，两球总是同时落到地面．该实验（ ）| A． | 只能说明水平方向的分运动是匀速直线运动 | |
| B． | 只能说明竖直方向的分运动是自由落体运动 | |
| C． | 不能说明A、B选项中的任何一条规律 | |
| D． | 能同时说明A、B选项中的两条规律 |
如图所示，真空中有一半径为R、质量分布均匀的玻璃球，频率一定的细激光束在真空中沿直线AB传播，于玻璃球表面的B点经折射进入玻璃球，并在玻璃球表面的D点又经折射进入真空中（光线所在平面过玻璃球的球心），已知∠BOD=120°，玻璃球对该激光的折射率为$\sqrt{3}$，光在真空中的传播速度为c．求：| A． | 角速度大小 | B． | 线速度大小 | C． | 向心加速度大小 | D． | 向心力大小 |
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