Question

10．在某星球表面，用弹簧测力计测得质量为m₀的物体的重力为P，已知该星球的半径为R，万有引力常量为G，它的同步通讯卫星的轨道离地面的高度为h，则（　　）

• A． 星球的质量为$\frac{P{R}^{2}}{G{m}_{0}}$
• B． 星球的同步通讯卫星环绕地球运动的向心加速度大小等于$\frac{P}{{m}_{0}}$
• C． 星球的自转周期等于$\frac{2π}{R}$$\sqrt{\frac{{m}_{0}（R+h）^{3}}{P}}$
• D． 该星球的第一宇宙速度为v=R$\sqrt{\frac{P}{{m}_{0}}}$

Answer 1

分析 根据万有引力等于重力，结合地球表面的重力加速度求出地球的质量，根据重力提供向心力求出地球的第一宇宙速度．地球自转周期与同步卫星的周期相等，根据万有引力提供向心力求出同步卫星的周期．根据重力提供向心力求出近地卫星的向心加速度．

解答 解：A、星球表面的重力加速度$g=\frac{P}{{m}_{0}^{\;}}$，星球表面物体的重力等于万有引力$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$，得星球质量$M=\frac{g{R}_{\;}^{2}}{G}$，联立得$M=\frac{P{R}_{\;}^{2}}{G{m}_{0}^{\;}}$，故A正确．
B、星球的同步通讯卫星绕星球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有：$G\frac{Mm}{（R+h）_{\;}^{2}}=ma$，得x向心加速度大小为：$a=\frac{GM}{（R+h）_{\;}^{2}}$，由A选项知星球表面的重力加速度为：$g=G\frac{M}{{R}_{\;}^{2}}=\frac{P}{{m}_{0}^{\;}}$，所以星球的同步通讯卫星的向心加速度不等于$\frac{P}{{m}_{0}^{\;}}$，故B错误．
C、星球的同步通讯卫星的自转周期等于星球的自转周期，根据万有引力等于向心力有：
$G\frac{Mm}{（R+h）_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}（R+h）$
解得$T=2π\sqrt{\frac{（R+h）_{\;}^{3}}{GM}}$，由A选项知$M=\frac{P{R}_{\;}^{2}}{G{m}_{0}^{\;}}$，代入周期表达式得：
$T=\frac{2π}{R}\sqrt{\frac{{m}_{0}^{\;}（R+h）_{\;}^{3}}{P}}$，故C确
D、根据星球的近地卫星万有引力提供向心力，有G$\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$，得第一宇宙速度公式$v=\sqrt{\frac{GM}{R}}$，将质量M代入，得$v=\sqrt{\frac{PR}{{m}_{0}^{\;}}}$，故D错误．
故选：AC

点评 解决本题的关键掌握万有引力定律的两个重要理论：1、万有引力等于重力，2、万有引力提供向心力，并能灵活运用．