Question

16．“天宫一号”目标飞行器，是我国自主研制的全新的载人飞行器，计划在轨道上的工作运行时间为2年，它可以与载人飞船进行多次对接．已知“天宫一号”飞行器质量为m，运行高度为h，地球半径为R，地球表面的重力加速度为g．求：
（1）“天宫一号”受到地球的万有引力大小；
（2）“天宫一号”的运行周期．

Answer 1

分析 根据万有引力定律得公式以及黄金代换式求出“天宫一号”受到地球的万有引力大小；
通过万有引力提供向心力，结合黄金代换式求出天宫一号的周期．

解答 解：（1）天宫一号受到的地球的万有引力为：F=$\frac{GMm}{（R+h）^{2}}$，
又GM=gR²，
联立解得：F=$\frac{mg{R}^{2}}{（R+h）^{2}}$．
（2）根据$G\frac{Mm}{（R+h）^{2}}=m（R+h）\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$得：T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{GM}}$，
又GM=gR²，
解得：T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{g{R}^{2}}}$．
答：（1）“天宫一号”受到地球的万有引力大小为$\frac{mg{R}^{2}}{（R+h）^{2}}$．；
（2）“天宫一号”的运行周期为$\sqrt{\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{g{R}^{2}}}$．．

点评 解决本题的关键掌握万有引力定律的两个重要理论：1、万有引力提供向心力，2、万有引力等于重力，并能灵活运用．