Question

7．两质点从t=0出发，运动方程分别为x₁=t²-2t-7，x₂=3t²-7t-1其中t和x单位分别取为秒和米，试比较两者相距最近时各自速度v₁和v₂之间的大小关系是${v}_{1}^{\;}＜{v}_{2}^{\;}$．若两质点运动方程改为x₁=t²+4t-5，x₂=3t²-5t-10再比较相距最近时v₁和v₂之间的大小关系是${v}_{1}^{\;}＜{v}_{2}^{\;}$．

Answer 1

分析 求出位移相等的时间，位移对时间的导数即速度，将时间代入，得到速度的值进行比较；

解答 解：当${x}_{1}^{\;}={x}_{2}^{\;}$时
${t}_{\;}^{2}-2t-7=3{t}_{\;}^{2}-7t-1$
$2{t}_{\;}^{2}-5t+6=0$
解得：${t}_{1}^{\;}=2s$，${t}_{2}^{\;}=\frac{3}{2}s$
当${t}_{1}^{\;}=2s$时，求导数
${v}_{1}^{\;}={x}_{1}^{′}=2t-2=（2×2-2）m/s=2m/s$
${v}_{2}^{\;}={x}_{2}^{′}=6t-7=（6×2-7）m/s=5m/s$
当${t}_{2}^{\;}=\frac{3}{2}s$时，
${v}_{1}^{′}=2t-2=2×\frac{3}{2}-2=1m/s$
${v}_{2}^{′}=6t-7=6×\frac{3}{2}-7=2m/s$
$\frac{3}{2}s$、2s时${v}_{1}^{\;}＜{v}_{2}^{\;}$
同理${x}_{1}^{\;}={x}_{2}^{\;}$
${t}_{\;}^{2}+4t-5=3{t}_{\;}^{2}-5t-10$
$2{t}_{\;}^{2}-9t-5=0$
${t}_{1}^{\;}=5s$或${t}_{2}^{\;}=-\frac{1}{2}s$（舍）
${v}_{1}^{\;}=2t+4=（2×5+4）m/s=14m/s$
${v}_{2}^{\;}=6t-5=（6×5-5）m/s=25m/s$
所以${v}_{1}^{\;}＜{v}_{2}^{\;}$
故答案为：${v}_{1}^{\;}＜{v}_{2}^{\;}$               ${v}_{1}^{\;}＜{v}_{2}^{\;}$

点评 解决本题关键要理解速度与位移的关系，知道位移对时间求导数可得到速度，要有运用数学知识解决物理问题的能力．