Question

7．如图，倾角θ=30°的光滑斜面底端固定一块垂直于斜面的挡板．将长木板A静置于斜面上，A上放置一小物块B，初始时A下端与挡板相距L=4m，现同时无初速释放A和B．已知在A停止运动之前B始终没有脱离A且不会与挡板碰撞，A和B的质量均为m=1kg，它们之间的动摩擦因数μ=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，A或B与挡板每次碰撞损失的动能均为△E=10J，忽略碰撞时间，重力加速度大小g取10m/s²．求
（l）A第一次与挡板碰前瞬间的速度大小v；
（2）A第一次与挡板碰撞到第二次与挡板碰撞的时间△t；
（3）B相对于A滑动的可能最短时间t．

Answer 1

分析 （1）根据机械能守恒求得速度；
（2）根据受力分析判断出碰撞后B的运动，利用牛顿第二定律求得加速度，根据动能定理求得速度，结合运动学公式求得时间；
（3）根据动能定理求得第2次反弹后的速度，利用牛顿第二定律求得加速度，根据运动学公式求得时间

解答 解：（1）B和A一起沿斜面向下运动，由机械能守恒定律有$2mgLsinθ=\frac{1}{2}（2m）{v^2}$①
由①式得     $v=2\sqrt{10}\;m/s$②
（2）第一次碰后，对B有mgsinθ=μmgcosθ故B匀速下滑          ③
对A有mgsinθ+μmgcosθ=ma₁④
得A的加速度${a_1}=10\;m/{s^2}$，方向始终沿斜面向下，A将做类竖直上抛运动   ⑤
设A第1次反弹的速度大小为v₁，由动能定理有$\frac{1}{2}m{v^2}-\frac{1}{2}m{v_1}^2=△E$⑥
$△t=\frac{{2{v_1}}}{a_1}$⑦
由⑥⑦式得$△t=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}s$⑧
（3）设A第2次反弹的速度大小为v₂，由动能定理有$\frac{1}{2}m{v^2}-\frac{1}{2}m{v_2}^2=2△E$⑨
得v₂=10 m/s⑩
即A与挡板第2次碰后停在底端，B继续匀速下滑，与挡板碰后B反弹的速度为v'，加速度大小为a′，由动能定理有$\frac{1}{2}m{v^2}-\frac{1}{2}m{v'^2}=△E$（11）
mgsinθ+μmgcosθ=ma'（12）
由（11）（12）式得B沿A向上做匀减速运动的时间 ${t_2}=\frac{v'}{a'}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}\;s$（13）
当B速度为0时，因mgsinθ=μmgcosθ≤f_m，B将静止在A上．            （14）
当A停止运动时，B恰好匀速滑至挡板处，B相对A运动的时间t最短，故t=△t+t₂=$\frac{{3\sqrt{5}}}{5}\;s$
答：（l）A第一次与挡板碰前瞬间的速度大小v为$2\sqrt{10}m/s$；
（2）A第一次与挡板碰撞到第二次与挡板碰撞的时间△t为$\frac{2\sqrt{5}}{5}s$；
（3）B相对于A滑动的可能最短时间t为$\frac{3\sqrt{5}}{5}s$．

点评 本题考查功能关系、牛顿第二定律及运动学公式，要注意正确分析物理过程，对所选研究对象做好受力分析，明确物理规律的正确应用好可正确求解．