Question

10．如图所示，AB是半径为R的圆的一条直径，该圆处于匀强电场中且电场线方向与圆面平行，今将一个质量为m（不计重力），带电量为+q的小球从A点以大小相等的初速度v₀沿着不同方向抛出时小球经过圆周上不同的点，在所有的点中，小球做类平抛运动到达C点的动能最大，已知OC与AB的夹角为θ=60°，试求：
（1）电场强度的方向；
（2）若撤去电场，在圆形区域内加上匀强磁场B₁，仍能使小球从A点抛出，其速度方向与直径AB成30°指向右上方，为使小球仍能从C点射出，求对应的磁感应强度；
（3）若撤去电场，在圆形区域内适当位置加上一个矩形区域的匀强磁场B₀，仍使小球从A点抛出，其速度方向与直径AB成30°指向右上方，为使小球仍从C点射出，试求该矩形磁场区域的最小面积．

Answer 1

分析 （1）由题，小球在匀强电场中运动，根据动能定理可知离子沿电场线的方向运动时电场力做功最多，可知C点的电势最低，电场方向必定从O点指向C点．
（2）（3）由题意画出粒子运动的轨迹，结合几何关系确定粒子的半径和圆心，然后由半径公式即可求出磁感应强度以及磁场的区域的大小．

解答 解：（1）依题，从C点出来的微粒动能最大，电场力做功必最多，且电场方向必定从O点指向C点，C点电势最低．
（2）如图做出粒子运动的轨迹，AD为粒子的初速度的方向与圆的交点，连接CD；由粒子在磁场中运动的对称性可知，DC的方向一定是粒子射出磁场时的方向，而且△ACD是等边三角形；粒子运动的轨迹的圆心一定在AC的垂直平分线上，分别做过A点与过C点的垂线，它们的交点P就是圆心的位置，由几何关系可知，P点一定在圆上，所以轨迹的半径：
r=PA=$\overline{PD}•sin30°$=2Rsin30°=R
粒子在磁场中受到的洛伦兹力提供向心力，得：$qv{B}_{1}=\frac{m{v}^{2}}{r}$
所以：${B}_{1}=\frac{mv}{qR}$

（3）在圆形区域内适当位置加上一个矩形区域的匀强磁场B₀，仍使小球从A点抛出，其速度方向与直径AB成30°指向右上方，仍然使小球仍从C点射出，则小球运动的轨迹不变，磁感应强度不变，所以最小的磁场的区域如图2所示，其中：AC=2R•cos30°=$\sqrt{3}$R；高度：h=R•sin30°=0.5R
其面积：${S}_{m}=AC•h=\frac{\sqrt{3}}{2}{R}^{2}$
答：（1）电场强度的方向沿OC的方向；
（2）若撤去电场，在圆形区域内加上匀强磁场B₁，仍能使小球从A点抛出，其速度方向与直径AB成30°指向右上方，为使小球仍能从C点射出，对应的磁感应强度大小是$\frac{mv}{qR}$；
（3）若撤去电场，在圆形区域内适当位置加上一个矩形区域的匀强磁场B₀，仍使小球从A点抛出，其速度方向与直径AB成30°指向右上方，为使小球仍从C点射出，该矩形磁场区域的最小面积是$\frac{\sqrt{3}}{2}{R}^{2}$．

点评 本题（1）关键是对电场力做功公式W=qEd的理解和应用，d是沿电场方向两点间的距离；（3）的关键是找出相应的临界条件．