Question

10．如图，A是地球的同步卫星．另一卫星B的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为h．已知地球半径为R，地球自转角速度为ω₀，地球质量为M，O为地球中心．
（1）开普勒行星运动第三定律指出：行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴a的三次方与它的公转周期T的二次方成正比，即 k是一个对所有行星都相同的常量．开普勒定律不仅适用于太阳系，它对一切具有中心天体的引力系统（如地月系统）都成立．请你推导出地月系中该常量k的表达式．已知引力常量为G．
（2）如卫星B绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A、B两卫星相距最近（O、B、A在同一直线上），则至少经过多长时间，它们还能相距最近？

Answer 1

分析 （1）卫星绕地球做匀速圆周运动，于是轨道半长轴a即为轨道半径r，根据万有引力定律和牛顿第二定律列式求解即可；
（2）卫星A、B绕地球做匀速圆周运动，当卫星B转过的角度与卫星A转过的角度之差等于2π时，卫星再一次相距最近

解答 解：（1）因卫星绕地球做匀速圆周运动，于是轨道半长轴a即为轨道半径r，根据万有引力定律和牛顿第二定律有：
G$\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$
解得：k=$\frac{{r}^{3}}{{T}^{2}}=\frac{G}{4{π}^{2}}$M
（2）由万有引力定律和向心力公式得 G$\frac{Mm}{{（R+h）}^{2}}$=mω_B²（ R+h ）   
在地球表面有$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg，
得ω_B=$\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{（R+h）^{3}}}$
由题意得（ω_B-ω₀）t=2π  
解得：t=$\frac{2π}{\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{{（R+h）}^{3}}}-{ω}_{0}}$
答：（1）地月系中该常量k的表达式为k=$\frac{G}{4{π}^{2}}$M；
（2）至少经过时间$\frac{2π}{\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{{（R+h）}^{3}}}-{ω}_{0}}$，它们还能相距最近．

点评 本题考查万有引力定律和圆周运动知识的综合应用能力，向心力的公式选取要根据题目提供的已知物理量或所求解的物理量选取应用，难度适中．