Question

2．宇宙中有两颗相距无限远的恒星X₁、X₂，半径均为R₀．图中T和r分别表示两颗恒星周围行星的公转周期和公转半径，则（　　）

• A． 恒星X₁表面的重力加速度大于恒星X₂表面的重力加速度
• B． 恒星X₁的第一宇宙速度大于恒星X₂的第一宇宙速度
• C． 恒星X₁的密度小于恒星X₂的密度
• D． 距离两恒星表面高度相同的行星，绕恒星X₁运行的行星公转周期较小

Answer 1

分析 根据万有引力等于向心力，得到${T}_{\;}^{2}$与${r}_{\;}^{3}$的表达式，结合图线的斜率，得到恒星质量的大小关系，根据重力等于万有引力比较恒星表面的重力加速度，根据$v=\sqrt{\frac{GM}{R}}$比较第一宇宙速度，根据$ρ=\frac{M}{V}$比较密度，周期公式$T=\sqrt{\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{GM}}$比较周期

解答 解：A、行星围绕恒星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，设恒星质量为M，行星质量为m，根据牛顿第二定律，有：
$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$
得：$\frac{{T}_{\;}^{2}}{{r}_{\;}^{3}}=\frac{4{π}_{\;}^{2}}{GM}$
由${T}_{\;}^{2}-{r}_{\;}^{3}$图线是一条过原点的直线，知${T}_{\;}^{2}$∝${r}_{\;}^{3}$，斜率$k=\frac{4{π}_{\;}^{2}}{GM}$
图线1斜率大于图线2的斜率，所以有：${M}_{{X}_{1}^{\;}}^{\;}＜{M}_{{X}_{2}^{\;}}^{\;}$
根据$mg=G\frac{Mm}{{R}_{0}^{2}}$，得：$g=G\frac{M}{{R}_{0}^{2}}$
所以恒星${X}_{1}^{\;}$表面的重力加速度小于恒星${X}_{2}^{\;}$表面的重力加速度，故A错误．
B、第一宇宙速度公式$v=\sqrt{\frac{GM}{R}}$，两恒星半径相等，${M}_{{X}_{1}^{\;}}^{\;}＜{M}_{{X}_{2}^{\;}}^{\;}$，所以恒星${X}_{1}^{\;}$的第一宇宙速度小于恒星${X}_{2}^{\;}$的第一宇宙速度，故B错误．
C、两恒星半径相等，体积相等，$ρ=\frac{M}{V}$，因为${M}_{{X}_{1}^{\;}}^{\;}＜{M}_{{X}_{2}^{\;}}^{\;}$，所以恒星${X}_{1}^{\;}$密度小于恒星${X}_{2}^{\;}$的密度，故C正确．
D、根据周期公$T=\sqrt{\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{GM}}$，距两恒星表面高度相同的行星，轨道半径相同，因为${M}_{{X}_{1}^{\;}}^{\;}＜{M}_{{X}_{2}^{\;}}^{\;}$，所以绕恒星${X}_{1}^{\;}$运行的行星周期大，故D错误．
故选：C

点评 本题考查考生从图象获取信息的能力，写出图象得函数表达式，从斜率入手分析是解本题的突破口．