Question

20．如图甲所示，有一磁感应强度大小为B、垂直纸面向外的匀强磁场，磁场边界OP与水平方向夹角为θ=45°，紧靠磁场右上边界放置长为L、间距为d的平行金属板M、N，磁场边界上的O点与N板在同一水平面上，O₁、O₂为电场左右边界中点．在两板间存在如图乙所示的交变电场（取竖直向下为正方向）．某时刻从O点竖直向上以不同初速度同时发射两个相同的质量为m、电量为+q的粒子a和b；结果粒子a恰从O₁点水平进入板间电场运动，由电场中的O₂点射出；粒子b恰好从M板左端边缘水平进入电场；不计粒子重力和粒子间相互作用，电场周期T未知；求：

（1）粒子a、b从磁场边界射出时的速度v_a、v_b；
（2）粒子a从O点进入磁场到O₂点射出电场运动的总时间t；
（3）如果金属板间交变电场的周期T=$\frac{4m}{qB}$，粒子b从图乙中t=0时刻进入电场，求要使粒子b能够穿出板间电场，E₀满足的条件．

Answer 1

分析 （1）求出粒子轨道半径，应用牛顿第二定律可以求出粒子a、b从I磁场边界射出时的速度v_a、v_b．
（2）求出粒子在磁场中、在电场中、在电磁场外的运动时间，然后求出总运动时间．
（3）作出粒子在电场中的运动轨迹，应用类平抛运动规律分析答题．

解答 解：（1）如图所示，粒子a、b在磁场中均速转过90°，平行于金属板进入电场．
由几何关系可得：${r}_{a}=\frac{1}{2}d$，r_b=d…①
由牛顿第二定律可得
$q{v}_{a}B=\frac{m{v}_{a}^{2}}{{r}_{a}}$ …②
$q{v}_{b}B=\frac{m{v}_{b}^{2}}{{r}_{b}}$ …③
解得：${v}_{a}=\frac{qBd}{2m}$，${v}_{b}=\frac{qBd}{m}$
（2）粒子a在磁场中运动轨迹如图

在磁场中运动周期为：${T}_{0}=\frac{2πm}{qB}$ …④
在磁场中运动时间：${t}_{1}=\frac{{T}_{0}}{4}=\frac{πm}{2qB}$ …⑤
粒子在电磁场边界之间运动时，水平方向做匀速直线运动，所用时间为
${t}_{2}=\frac{（\frac{d}{2}+L）}{{v}_{a}}$ …⑥
由 ④⑤⑥则全程所用时间为：$t={t}_{1}+{t}_{2}=\frac{πm}{2qB}+\frac{m（d+2L）}{qBd}$
（3）粒子在磁场中运动的时间相同，a、b同时离开Ⅰ磁场，a比b进入电场落后时间$△t=\frac{d}{2{v}_{a}}=\frac{m}{qB}=\frac{T}{4}$ …⑦
故粒子b在t=0时刻进入电场．
由于粒子a在电场中从O₂射出，在电场中竖直方向位移为0，故a在板间运动的时间t_a是周期的整数倍，由于v_b=2v_a，b在电场中运动的时间是t_b=$\frac{1}{2}$t_a，可见b在电场中运动的时间是半个周期的整数倍即${t}_{b}=\frac{L}{{v}_{b}}=n•\frac{T}{2}$ …⑧
$n=\frac{2L}{Tv}$ …⑨
粒子b在$\frac{T}{2}$内竖直方向的位移为$y=\frac{1}{2}a（\frac{T}{2}）^{2}$ …⑩
粒子在电场中的加速度$a=\frac{q{E}_{0}}{m}$
由题知$T=\frac{4m}{qB}$
粒子b能穿出板间电场应满足ny≤d
解得${E}_{0}≤\frac{q{d}^{2}{B}^{2}}{mL}$
答：（1）粒子a、b从磁场边界射出时的速度v_a、v_b分别是：$\frac{qBd}{2m}$和$\frac{qBd}{m}$；
（2）粒子a从O点进入磁场到射出O₂点运动的总时间是$\frac{πm}{2qB}+\frac{m（d+2L）}{qBd}$；
（3）如果交变电场的周期T=$\frac{4m}{qB}$，要使粒子b能够穿出板间电场，则电场强度大小E₀满足的条件${E}_{0}≤\frac{q{d}^{2}{B}^{2}}{mL}$．

点评 本题考查了带电粒子在电场与磁场中的运动，分析清楚粒子运动过程、作出粒子运动轨迹是正确解题的关键，应用牛顿第二定律、粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期公式、牛顿第二定律、运动学公式即可正确解题．