Question

5．如图所示，在倾角为θ的光滑斜面上，有一长为l的细线，细线的一端固定在O点，另一端拴一质量为m的小球，现使小球恰好能在斜面上做完整的圆周运动，已知O点到斜面底边的距离OC=L．
（1）求小球通过最高点A时的速度表达式v_A？
（2）若小球通过最低点B时，细线对小球拉力表达式T_B=6mgsinθ，当小球运动到A点或B点时剪断细线，小球滑落到斜面底边时到C点的距离相等，求l和L应满足的关系？

Answer 1

分析 小球恰好能在斜面上做完整的圆周运动，结合牛顿第二定律求出最高点A的速度表达式．
细线断裂后做类平抛运动，抓住小球滑落到斜面底边时到C点的距离相等，求出l和L的关系．

解答 解：（1）小球恰好能在斜面上做完整的圆周运动，小球通过A点时细线的拉力为零，根据圆周运动和牛顿第二定律有：$mgsinθ=m\frac{{{v}_{A}}^{2}}{l}$，
解得：${v}_{A}=\sqrt{glsinθ}$．
（2）小球在B点时根据圆周运动和牛顿第二定律有：T-mgsinθ=$m\frac{{{v}_{B}}^{2}}{l}$
解得：${v}_{B}=\sqrt{5glsinθ}$．                                                   　
小球运动到A点或B点时细线断裂，小球在平行底边方向做匀速运动，在垂直底边方向做初速为零的匀加速运动（类平抛运动）
类平抛运动的加速度：a=gsinθ                           
细线在A点断裂：L+l=$\frac{1}{2}a{{t}_{A}}^{2}$，s_A=v_At_A．
细线在B点断裂：L-l=$\frac{1}{2}a{{t}_{B}}^{2}$，s_B=v_Bt_B．
又s_A=s_B，
联立解得：L=$\frac{3}{2}l$．
答：（1）小球通过最高点A时的速度表达式为${v}_{A}=\sqrt{glsinθ}$；
（2）l和L应满足的关系为L=$\frac{3}{2}l$．

点评 本题考查了圆周运动和类平抛运动的综合，知道圆周运动向心力的来源，以及类平抛运动在水平方向和沿斜面向下方向的运动规律是解决本题的关键．