Question

4．如图，竖直平面内的$\frac{3}{4}$圆弧形光滑轨道半径为R，C端与圆心O等高，D端在O的正上方，BE为与水平方向成θ角的光滑斜面，B点在C端的正上方．一个可看成质点的小球从距地面H=$\frac{8}{3}$R处的A点由静止开始释放，自由下落至C点后进入圆弧形轨道，过D点后恰好从斜面BE的B点滑上斜面（无碰撞现象）．
（1）求过D点时小球对轨道的作用力；
（2）求斜面的倾斜角θ；
（3）若斜面倾角变为45°，且BE=$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$R，欲使小球能落在斜面BE上的E点．求释放点A到地面的竖直高度h．

Answer 1

分析 （1）由动能定理求出小球到达D点的速度，然后应用牛顿第二定律求出小球与轨道间的作用力．
（2）小球从D到B点做平抛运动，运用速度的分解和平抛运动的规律，求出斜面的倾角．
（3）小球从D平抛飞至E点，由平抛运动的规律求出小球经过D点时的速度，即可由机械守恒定律求出h．

解答 解：（1）小球从A运动到D过程由动能定理得：
mg（H-2R）=$\frac{1}{2}$mv_D²-0，代入数据解得：v_D=$\sqrt{\frac{4gR}{3}}$，
在D点，由牛顿第二定律得：F+mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$，
代入数据解得：F=$\frac{1}{3}$mg；
（2）过D点后恰好从斜面BE的B点滑上斜面，则到B点时，速度方向与水平方向的夹角为θ，
小球从D点做平抛运动，到达B点时，水平位移为R，则运动时间t=$\frac{R}{{v}_{D}}=\sqrt{\frac{3R}{4g}}$，
则竖直方向速度${v}_{y}=gt=\sqrt{\frac{3}{4}gR}$，
则有：$tanθ=\frac{{v}_{y}}{{v}_{D}}=\frac{3}{4}$
所以θ=37°
（3）小球落到E点时，D与E高度为h′=2R
则做平抛运动的时间$t′=\sqrt{\frac{4R}{g}}$，
水平位移x=R+$\overline{BE}sin45°$=$\frac{5}{2}R$
而从D点抛出的速度${v}_{D}′=\frac{x}{t}$
联立解得：${v}_{D}′=\frac{5}{4}\sqrt{gR}$
小球从A运动到D过程由动能定理得：
mg（H′-2R）=$\frac{1}{2}$m${v}_{D}{′}^{2}$-0，
代入数据解得
$H′=\frac{89}{32}R$
答：（1）过D点时小球对轨道的作用力是$\frac{1}{3}$mg；
（2）斜面的倾斜角θ为37°；
（3）释放点A到地面的竖直高度为$\frac{89}{32}R$．

点评 本题是机械能守恒定律、牛顿第二定律和平抛运动的综合，关键是把握每个过程的物理规律，知道平抛运动水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，难度适中．