Question

18．光滑管状轨道ABC由直轨道AB和圆弧形轨道BC组成，二者在B处相切并平滑连接，O为圆心，O、A在同一条水平线上，OC竖直（管口C处光滑）．一直径略小于圆管直径的质量为m的小球，用细线穿过管道与质量为M的物块连接，将小球由A点静止释放，当小球运动到B处时细线断裂，小球继续运动．已知弧形轨道的半径为R=$\frac{8}{3}$m，所对应的圆心角为53°，sin53°=0.8，g=10m/s2．
（1）若M=5m，求小球在直轨道部分运动时的加速度大小及到达B点的速度．
（2）M、m满足什么关系时，小球能够运动到C点？

Answer 1

分析 （1）对小球受力分析，根据牛顿第二定律可求得加速度大小；由几何关系分析AB的长度，再由运动学公式可求得B点的速度；
（2）对小于由A到B的过程以及线断后过程进行分析，根据机械能守恒定律列式，联立可求得M与m之间的关系．

解答 解：（1）设细线中张力为F，对小球：F-mgsin53°=ma 
对物块：Mg-F=Ma  
联立解得 a=7m/s²
在Rt△OAB中，得x_AB=$\frac{R}{tan53°}$ 
由v²=2ax_AB
 解得v=2$\sqrt{7}$m/s
（2）小球A→B：M、m系统机械能守恒$\frac{1}{2}（M+m）{v}^{2}=Mg{x}_{AB}-mg{x}_{AB}sin53°$
线断后，小球B→C，v_C=0
由机械能守恒：$0-\frac{1}{2}m{v}^{2}=-mgR（1-cos53°）$
解得$M≥\frac{20}{7}m$
答：（1）若M=5m，小球在直轨道部分运动时的加速度大小是7m/s²，到达B点的速度是2$\sqrt{7}$m/s．
（2）M、m满足$M≥\frac{20}{7}m$时，小球能够运动到C点．

点评 本题综合考查机械能守恒、牛顿第二定律以及平抛运动规律，此类问题一定注意做好受力分析以及过程分析，然后根据题意灵活选择物理规律即可正确求解．