Question

20．如图所示，一木块（可视为质点）沿倾角为θ的足够长的固定斜面从某初始位置以v₀初速度向上运动，已知木块与斜面之间的动摩擦因数为μ，规定木块初始位置的重力势能为零．试求木块动能等于重力势能处的高度（相对其初始位置）．
（本题可设v₀=4.5m/s，μ=0.35，θ=30°，求得上滑时木块动能等于重力势能处的高度${h_1}=\frac{v_0^2}{2g（2+μcotθ）}=0.38m$；上滑最大高度为$H=\frac{v_0^2}{2g（1+μcotθ）}=0.61m$，之后向下滑动，木块动能等于重力势能处的高度为${h_2}=\frac{1-μcotθ}{2-μcotθ}=0.15m$）

Answer 1

分析 当μ＞tanθ时，物体上升到最大高度后将停止在斜面上，根据动能定理即可求得上升的高度；当μ＜tanθ时，物体上升到最大高度后还将沿斜面加速下滑，根据动能定理求得即可

解答 解：（1）μ＞tanθ时，物体上升到最大高度后将停止在斜面上，设物体上升到高度为h₁处时，物体的动能和势能相等，此时物体的速度为v₁，根据动能定理有：$\frac{1}{2}{mv}_{1}^{2}-\frac{1}{2}{mv}_{0}^{2}=-mgh-μmgcosθ•\frac{{h}_{1}}{sinθ}$
$\frac{1}{2}{mv}_{1}^{2}=mg{h}_{1}$
解得${h}_{1}=\frac{{v}_{0}^{2}}{2g（2+\frac{μ}{tanθ}）}$
（2）μ＜tanθ时，物体上升到最大高度后还将沿斜面加速下滑．在上升过程中物体动能和势能相等的高度表达式仍为上式．
设物体上升的最大高度为H，由动能定理得：
$0-\frac{1}{2}{mv}_{0}^{2}=-mgH-μmgcosθ•\frac{H}{sinθ}$
在下滑过程中，木块动能等于势能处的高度为h₂，此时物体的速度为v₂，根据动能定理有：
$\frac{1}{2}{mv}_{2}^{2}=mg（H-{h}_{2}）-μmgcosθ•\frac{H-{h}_{2}}{sinθ}$
$\frac{1}{2}{mv}_{2}^{\;}2=mg{h}_{2}$
解得h₂=$\frac{（tanθ-μ）}{（2tanθ-μ）（tanθ+μ）}•\frac{{v}_{0}^{2}}{2g}$
答：木块动能等于重力势能处的高度当μ＞tanθ时为$\frac{{v}_{0}^{2}}{2g（2+\frac{μ}{tanθ}）}$；μ＜tanθ时为$\frac{（tanθ-μ）}{（2tanθ-μ）（tanθ+μ）}•\frac{{v}_{0}^{2}}{2g}$

点评 本题主要考查了动能定理，关键是抓住物体的运动过程，分清物体能否静止在斜面上，利用好动能定理解决