Question

5．天文工作者观测到某行星的半径为R₁，自转周期为T₁，它有一颗卫星，轨道半径为R₂，绕行星公转周期为T₂．若万有引力常量为G，求：
（1）该行星的平均密度；
（2）此行星赤道上的物体随行星自转的线速度大小v₁及该行星的第一宇宙速度v₂．

Answer 1

分析 （1）卫星绕行星公转时，根据万有引力提供卫星圆周运动的向心力可以列式求出行星的质量M，进一步求行星的平均密度；
（2）根据公式v=$\frac{2πr}{T}$求此行星赤道上的物体随行星自转的线速度大小v₁．由万有引力等于向心力，求该行星的第一宇宙速度v₂．

解答 解：（1）卫星绕行星公转时，由万有引力提供卫星圆周运动所的向心力，得：
G$\frac{Mm}{{R}_{2}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}_{2}^{2}}{R}_{2}$
解得行星的质量为：M=$\frac{4{π}^{2}{R}_{2}^{3}}{G{T}_{2}^{2}}$
行星的平均密度为：ρ=$\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}_{1}^{3}}$=$\frac{3π{R}_{2}^{3}}{G{T}_{2}^{2}{R}_{1}^{3}}$
（2）此行星赤道上的物体随行星自转的线速度大小为：v₁=$\frac{2π{R}_{1}}{{T}_{1}}$
根据万有引力等于向心力，得：
G$\frac{Mm}{{R}_{1}^{2}}$=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{{R}_{1}}$
又 M=$\frac{4{π}^{2}{R}_{2}^{3}}{G{T}_{2}^{2}}$
联立解得：v₂=$\frac{2π{R}_{2}}{{T}_{2}}$$\sqrt{\frac{{R}_{2}}{{R}_{1}}}$
答：（1）该行星的平均密度是$\frac{3π{R}_{2}^{3}}{G{T}_{2}^{2}{R}_{1}^{3}}$；
（2）此行星赤道上的物体随行星自转的线速度大小v₁及该行星的第一宇宙速度v₂分别为$\frac{2π{R}_{1}}{{T}_{1}}$和$\frac{2π{R}_{2}}{{T}_{2}}$$\sqrt{\frac{{R}_{2}}{{R}_{1}}}$．

点评 解决问题的关键根据万有引力提供圆周运动的向心力，理清卫星的向心力来源，即可研究．