Question

19．宇航员在地球表面以一定的初速度竖直上抛一小球，经过时间t落回原处；若在某星球表面以相同的速度竖直上抛一小球，则需经5t时间落回原处．已知该星半径与地球半径之比为1：4，则（　　）

• A． 该星表面重力加速度与地球表面重力加速度之比为5：1
• B． 该星质量与地球质量之比为1：80
• C． 该星密度与地球密度之比为4：5
• D． 该星的“第一宇宙速度”与地球的第一宇宙速度之比为1：20

Answer 1

分析 通过竖直上抛运动经历的时间求出重力加速度之比，然后根据万有引力等于重力$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$，求出中心天体的质量比．根据密度的定义$ρ=\frac{M}{V}=\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$计算密度之比．第一宇宙速度v=$\sqrt{gR}$，根据重力加速度和星球半径之比计算第一宇宙速度之比．

解答 解：A、设地球表面重力加速度为g，设该星球表面附近的重力加速度为g′，根据$g=\frac{{v}_{0}}{t}$，知重力加速度之比等于它们所需时间之反比，地球上的时间与星球上的时间比1：5，则地球表面的重力加速度和星球表面重力加速度之比g：g′=5：1．故A错误．
B、根据万有引力等于重力$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$，得M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$．星球和地球表面的重力加速度之比为1：5，半径比为1：4，所以星球和地球的质量比M_星：M_地=1：80．故B正确．
C、根据密度的定义$ρ=\frac{M}{V}=\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$，所以$\frac{{ρ}_{星}}{{ρ}_{地}}=\frac{{M}_{星}}{{M}_{地}}×（\frac{{R}_{地}}{{R}_{星}}）^{3}=\frac{1}{80}×\frac{{4}^{3}}{1}=\frac{4}{5}$，故C正确．
D、第一宇宙速度v=$\sqrt{gR}$，所以$\frac{{v}_{星}}{{v}_{地}}=\sqrt{\frac{g′}{g}×\frac{R′}{R}}=\sqrt{\frac{5}{4}}$，故D错误．
故选：BC．

点评 解决本题的关键知道竖直上抛运动上升阶段和下降阶段是对称的，以及掌握万有引力等于重力这一理论．