Question

3．如图所示，长为L的轻杆OA可绕过O点的水平轴在竖直平面内转动，其端点A固定着一质量为m的小球（可视为质点），小球系这一跨过定滑轮B，C的不可伸长的轻绳，绳的另一端系一物块．滑轮的半径和质量可以忽略，B在O点的正上方．系统在图示位置静止时，杆与竖直墙面间的夹角θ=37°，BA⊥OA，若物块的质量减少为原来的$\frac{1}{3}$，由图示位置静止释放小球，杆将绕O轴顺时针转动，不计一切摩擦，取sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度g．求：（提示：在本题中，轻杆静止受到小球的作用力方向始终沿杆方向）
（1）物块的质量M；
（2）当小球刚运动到最低点时杆的角速度大小为ω．

Answer 1

分析 （1）系统在图示位置静止时，OA力矩平衡，列式可求出绳子的拉力，从而得到物块的质量M．
（2）当小球刚运动到最低点时物块的速度为0，以物块和小球及绳子组成的系统为研究对象，根据系统的机械能守恒求解．

解答 解：（1）系统在图示位置静止时，设此时绳子的拉力大小为F，则有
  F=Mg
以OA杆为研究对象，以O点转轴，由力矩平衡条件得：
   FL=mgLsin37°
联立解得 M=0.6m
（2）若物块的质量减少为原来的$\frac{1}{3}$，杆OA将顺时针转动，在转动过程中，以物块和小球及绳子组成的系统为研究对象，由于只有重力做功，系统的机械能守恒．
当小球刚运动到最低点时物块的速度为0，由系统的机械能守恒得：
  mg（L+Lcos37°）=$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$+$\frac{1}{3}$Mg（2L-Ltan37°）
又 v_A=Lω
联立解得ω=$\sqrt{\frac{3.1g}{L}}$
答：
（1）物块的质量M为0.6m；
（2）当小球刚运动到最低点时杆的角速度大小ω为$\sqrt{\frac{3.1g}{L}}$．

点评 解决本题的关键判断出小球刚运动到最低点时物块的速度为0，运用系统的机械能守恒研究速度问题．对于第1问，也可以球为研究对象，由共点力平衡求解．