Question

18．已知月球半径为R，月球表面的重力加速度为g₀，“嫦娥三号”飞船沿距月球高度为3R的圆形轨道Ⅰ运动，如图所示，到达轨道的A点变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道Ⅱ的近月点B再次变轨进入近月轨道Ⅲ（距月表高度忽略不计）绕月球做圆周运动．下列说法正确的是（　　）

• A． 飞船在轨道Ⅲ和轨道Ⅰ的线速度大小之比为1：2
• B． 飞船在轨道Ⅰ绕月球运动一周所需的时间为2π$\sqrt{\frac{27R}{{g}_{0}}}$
• C． 飞船在A点刚变轨后和变轨前相比动能增大
• D． 飞船在轨道Ⅱ上由A点运动到B点的过程中动能增大

Answer 1

分析 飞船做圆周运动，根据万有引力等于向心力，列出等式表示出线速度和周期，再根据万有引力等于重力求解．
从轨道Ⅰ上A点进入轨道Ⅱ需减速，做近心运动，刚变轨后和变轨前动能变小．
在轨道Ⅱ上运行时，根据万有引力做功情况判断A、B两点的速度大小．

解答 解：A、由牛顿第二定律得：$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$，解得，飞船的线速度：v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，飞船在轨道Ⅲ跟轨道Ⅰ的线速度大小之比：$\frac{{v}_{3}}{{v}_{1}}=\sqrt{\frac{{r}_{3}}{{r}_{1}}}$=$\sqrt{\frac{R}{R+3R}}$=$\frac{1}{2}$，故A正确；
B、由牛顿第二定律得：$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$，解得，飞船的周期：T=2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$，在月球表面：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m{g}_{0}$，得GM=g₀R²，则飞船在轨道Ⅰ绕月球运动一周所需的时间T=2π$\sqrt{\frac{（R+3R）^{3}}{{g}_{0}{R}^{2}}}$=2π$\sqrt{\frac{64R}{{g}_{0}}}$，故B错误；
C、飞船在A点处点火时，是通过向行进方向喷火，做减速运动，向心进入椭圆轨道，所以点火瞬间是动能减小的，故C错误．
D、飞船在Ⅱ轨道上由A点运动到B点的过程中，万有引力做正功，动能增大，故D正确．
故选：AD．

点评 主要考查圆周运动中各种向心力公式的变换．要能根据万有引力提供向心力，选择恰当的向心力的表达式．