Question

1．质量为m带电量为-q的带电粒子0时刻由a点以初速度v₀垂直进入磁场，如图1所示．Ⅰ区域磁场磁感应强度大小不变方向周期性变化如图2所示（垂直纸面向里为正方向）；Ⅱ区域为匀强电场，方向向上；Ⅲ区域为匀强磁场磁感应强度大小与Ⅰ区域相同均为B₀．粒子在Ⅰ区域内一定能完成半圆运动且每次经过mn的时刻均为$\frac{{T}_{0}}{2}$整数倍，则
（1）粒子在Ⅰ区域运动的轨道半径为多少？
（2）若初始位置与第四次经过mn时的位置距离为x，求粒子进入Ⅲ区域时速度的可能值（初始位置记为第一次经过mn）．
（3）在满足（2）的条件下，求电场强度E的大小可能值．

Answer 1

分析 （1）根据洛伦兹力提供向心力，求出粒子在Ⅰ区域运动的轨道半径；或根据周期的大小求出轨道半径．
（2）第一种情况，再次进入磁场I区域，磁场方向与之前相同，第二种情况，再次进入磁场I区域，磁场方向与之前方向相反，根据几何关系求出轨道半径，结合洛伦兹力提供向心力求出粒子进入Ⅲ区域时速度的可能值．
（3）根据粒子进入磁场Ⅲ区域的速度，结合速度时间公式和牛顿第二定律，根据周期性，求出电场强度E的大小可能值．

解答 解：（1）根据洛伦兹力提供向心力有：qv₀B₀=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$，
解得r=$\frac{m{v}_{0}}{q{B}_{0}}$．
也可以表示为T₀=$\frac{2πr}{{v}_{0}}$
解得r=$\frac{{T}_{0}{v}_{0}}{2π}$．
（2）第一种情况：
根据几何关系得，粒子在Ⅲ区域的半径R=$\frac{x}{2}$，
根据qv₂B₀=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$得，
解得3区域速度大小：v₂=$\frac{q{B}_{0}x}{2m}$．
第二种情况：
根据几何关系得，粒子在Ⅲ区域半径R=$\frac{x-4r}{2}$，
在Ⅲ区域速度大小v₂=$\frac{q{B}_{0}x}{2m}$-2v₀
（3）第一种情况：
Ⅲ区域速度大小：v₂=$\frac{q{B}_{0}x}{2m}$
在电场中的时间：2t=$\frac{{T}_{0}}{2}$+nT₀，
根据牛顿第二定律有：Eq=ma，
根据速度时间公式得：a=$\frac{{v}_{2}-{v}_{0}}{t}$，
联立解得：E=$\frac{2q{B}_{0}x-4m{v}_{0}}{q{T}_{0}（2n+1）}$，（n=0，1，2…）
第二种情况：
Ⅲ区域速度大小v₂=$\frac{q{B}_{0}x}{2m}$-2v₀
2t=（n+1）T₀，
联立解得E=$\frac{q{B}_{0}x-6m{v}_{0}}{q{T}_{0}（n+1）}$，（n=0，1，2…）
答：（1）粒子在Ⅰ区域运动的轨道半径为$\frac{m{v}_{0}}{q{B}_{0}}$或$\frac{{T}_{0}{v}_{0}}{2π}$．
（2）粒子进入Ⅲ区域时速度的可能值为$\frac{q{B}_{0}x}{2m}$或$\frac{q{B}_{0}x}{2m}$-2v₀；
（3）电场强度E的大小可能值为E=$\frac{2q{B}_{0}x-4m{v}_{0}}{q{T}_{0}（2n+1）}$，（n=0，1，2…）或E=$\frac{q{B}_{0}x-6m{v}_{0}}{q{T}_{0}（n+1）}$，（n=0，1，2…）．

点评 本题考查了带电粒子在复合场中的运动，关键理清粒子在整个过程中的运动规律，作出轨迹图，运用半径公式和几何关系综合求解．