Question

6．两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动，现测得两个星球中心距离为R，其运动周期为T，万有引力常量为G，求两个星球的总质量．

Answer 1

分析 双星系统中，两颗星球绕同一点做匀速圆周运动，且两者始终与圆心共线，相同时间内转过相同的角度，即角速度相等，则周期也相等．但两者做匀速圆周运动的半径不相等．

解答 解：设两星质量分别为M₁和M₂，都绕连线上O点作周期为T的圆周运动，星球1和星球2到O的距离分别为l₁和l₂．
由万有引力定律提供向心力：
对 M₁：G$\frac{{{M}_{1}M}_{2}}{{R}^{2}}$=$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$M₁R₁…①
对M₂：G$\frac{{{M}_{1}M}_{2}}{{R}^{2}}$=$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$M₂R₂…②
由几何关系知：R₁+R₂=R…③
三式联立解得：M_总=$\frac{{{4π}^{2}R}^{3}}{{GT}^{2}}$．
答：两个星球的总质量是$\frac{{{4π}^{2}R}^{3}}{{GT}^{2}}$．

点评 处理双星问题必须注意两点：（1）两颗星球运行的角速度、周期相等；（2）轨道半径不等于引力距离．弄清每个表达式中各字母的含义，在示意图中相应位置标出相关量，可以最大限度减少错误．