Question

8．要发射一颗人造地球卫星，使它在半径为r₂的预定轨道上绕地球做匀速圆周运动，为此先将卫星发射到半径为r₁的近地暂行轨道上绕地球做匀速圆周运动．如图所示，在A点，使卫星速度瞬时增加，从而使卫星进入一个椭圆的转移轨道上，当卫星到达转移轨道的远地点B时，再次瞬时改变卫星速度，使它进入预定轨道运行．已知地球表面的重力加速度大小为g，地球的半径为R，则卫星在半径为r₁的近地暂行轨道上的运动周期为$T=2π\sqrt{\frac{{{r}_{1}}^{3}}{GM}}$，卫星从半径为r₁的近地暂行轨道上的A点转移到半径为r₂的预定轨道上的B点所需时间为$\frac{π（{r}_{1}+{r}_{2}）}{2R}\sqrt{\frac{{r}_{1}+{r}_{2}}{2g}}$．

Answer 1

分析 （1）根据万有引力提供向心力求解．
（2）根据卫星的运动图形和几何关系，确定出椭圆轨道的半长轴a，再利用开普勒第三定律求解．

解答 解：（1）卫星在近地暂行轨道上运行所需要的向心力由万有引力提供$G\frac{Mm}{{{r}_{1}}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}{r}_{1}$，得$T=2π\sqrt{\frac{{{r}_{1}}^{3}}{GM}}$
在地球表面上的物体受到的重力等于万有引力$mg=G\frac{Mm}{{R}^{2}}$，得GM=R²g
所以$T=2π\sqrt{\frac{{{r}_{1}}^{3}}{{R}^{2}g}}$=$\frac{2π{r}_{1}}{R}\sqrt{\frac{{r}_{1}}{g}}$
（2）设卫星预定轨道半径为r，当卫星在转移轨道运行，其半长轴为：a=$\frac{{r}_{1}+{r}_{2}}{2}$
    根据开普勒第三定律得：$\frac{{{r}_{1}}^{3}}{{T}^{2}}=\frac{{a}^{3}}{（2t）^{2}}$
化简得$（2t）^{2}=（\frac{\frac{{r}_{1}+{r}_{2}}{2}}{{r}_{1}}）^{3}T$
解得：$t=\frac{{r}_{1}+{r}_{2}}{4{r}_{1}}\sqrt{\frac{{r}_{1}+{r}_{2}}{2{r}_{1}}}•T$
代入T值，得$t=\frac{{r}_{1}+{r}_{2}}{4{r}_{1}}\sqrt{\frac{{r}_{1}+{r}_{2}}{2{r}_{1}}}•\frac{2π{r}_{1}}{R}\sqrt{\frac{{r}_{1}}{g}}$=$\frac{π（{r}_{1}+{r}_{2}）}{2R}\sqrt{\frac{{r}_{1}+{r}_{2}}{2g}}$
故答案为：$T=2π\sqrt{\frac{{{r}_{1}}^{3}}{GM}}$；$\frac{π（{r}_{1}+{r}_{2}）}{2R}\sqrt{\frac{{r}_{1}+{r}_{2}}{2g}}$．

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力和万有引力等于重力两知识点，以及会用开普勒第三定律解题．