Question

5．如图（a）所示，真空室中电极K发出的电子（初速为零）．经U=1000V的加速电场后，由小孔S沿两水平金属板A、B两板间的中心线射入，A、B板长L=0.20m，相距d=0.020m，加在A、B两板间的电压U随时间t变化u-t图线如图（b）．设A、B两板间的电场可以看做是均匀的，且两板外无电场．在每个电子通过电场区域的极短时间内，电场可视作恒定的．两板右侧放一记录圆筒，筒的左侧边缘与极板右端距离b=0.15m，筒绕其竖直轴匀速转动，周期T=0.20s，筒的周长S=0.20m，筒能接收到通过A、B板的全部电子．
试计算电子打到记录纸上的最高点的y坐标和x坐标（不计重力）

Answer 1

分析 粒子在偏转电场中做类平抛运动，出偏转电场后做匀速直线运动，结合动能定理、牛顿第二定律和运动学公式求出粒子恰好贴着极板边缘出磁场时的偏转电压的大小，从而确定出哪段时间内进入的粒子能够出偏转电场，结合几何关系求出最高点的位置坐标，根据电压变化的周期性确定x的坐标

解答 解：计算电子打到记录纸上的最高点的坐标设v₀为电子沿A、B板的中心线射入
电场时的初速度，则 $\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}=e{U}_{0}^{\;}$  ①
电子在中心线方向的运动为匀速运动，设电子穿过A、B板的时间为t₀，则
l=v₀t₀②

电子在垂直A、B板方向的运动为匀加速直线运动对于恰能穿过A、B板的电子，在它通过时加在两板间的电压u_c应满足
 $\frac{d}{2}=\frac{1}{2}\frac{e{u}_{C}^{\;}}{md}{t}_{0}^{2}$  ③
联立①、②、③式解得
${u}_{C}^{\;}=\frac{2{d}_{\;}^{2}}{{l}_{\;}^{2}}{U}_{0}^{\;}$=20V
此电子从A、B板射出时沿y方向的分速度为    ${v}_{y}^{\;}=\frac{e{u}_{C}^{\;}}{md}{t}_{0}^{\;}$ ④
此后，此电子作匀速直线运动，它打在记录纸上的点最高，设纵坐标为y，由图（1）可得
$\frac{y-\frac{d}{2}}{b}=\frac{{v}_{y}^{\;}}{{v}_{0}^{\;}}$  ⑤
由以上各式解得  
 $y=\frac{bd}{l}+\frac{d}{2}$=$\frac{0.15×0.02}{0.2}+\frac{0.02}{2}=0.025m=2.5cm$    ⑥
从题给的u-t图线可知，加于两板电压u的周期T₀=0.10秒，u的最大值u_m=100伏，因为u_C＜u_m，在一个周期T₀内，只有开始的一段时间间隔△t内有电子通过A、B板
$△t=\frac{{u}_{C}^{\;}}{{u}_{m}^{\;}}{T}_{0}^{\;}$ ⑦
因为电子打在记录纸上的最高点不止一个，根据题中关于坐标原点与起始记录时刻的规定，第一个最高点的x坐标为
 ${x}_{1}^{\;}=\frac{△t}{T}s=2cm$⑧
第二个最高点的x坐标为
${x}_{2}^{\;}=\frac{△t+{T}_{0}^{\;}}{T}s=12cm$⑨
第三个最高点的x坐标为
${x}_{3}^{\;}=\frac{△t+2{T}_{0}^{\;}}{T}s=22cm$
由于记录筒的周长为20厘米，所以第三个最高点已与第一个最高点重合，即电子打到记录纸上的最高点只有两个，它们的x坐标分别由⑧和⑨表示
答：电子打到记录纸上的最高点的y坐标为2.5cm，x坐标为2cm或12cm．

点评 解决本题的关键理清粒子在整个过程中的运动规律，求出恰好离开偏转电场时的偏转电压．结合动能定理、牛顿第二定律和运动学公式进行求解．