Question

1．“嫦娥三号”探月卫星于2013年12月2日凌晨在西昌卫星发射中心发射，将实现“落月”的新阶段．若已知引力常量为G，月球绕地球做圆周运动的半径为r₁、周期为T₁，“嫦娥三号”探月卫星做圆周运动的环月轨道半径为r₂、周期为T₂，不计其他天体的影响，根据题目条件可以（　　）

• A． 求出月球的质量
• B． 求出“嫦娥三号”探月卫星的质量
• C． 得出$\frac{{{r}_{1}}^{3}}{{{T}_{1}}^{2}}$=$\frac{{{r}_{2}}^{3}}{{{T}_{2}}^{2}}$
• D． 求出地球的密度

Answer 1

分析 分别以月球和“嫦娥三号”为研究对象，根据万有引力提供向心力列式，可求得月球和地球的质量．由于地球本身的半径未知，是不能求出地球的密度的

解答 解：A、B“嫦娥三号”探月卫星做圆周运动的环月轨道半径为r₂、周期为T₂，由月球的万有引力提供向心力，则有：
$G\frac{{M}_{月}^{\;}{m}_{嫦}^{\;}}{{r}_{2}^{2}}={m}_{嫦}^{\;}\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{2}^{2}}{r}_{2}^{\;}①$
则得：${M}_{月}^{\;}=\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{2}^{3}}{G{T}_{2}^{2}}$②
可知能求出月球的质量，根据题目条件不能求出“嫦娥三号”探月卫星的质量，故A正确，B错误．
C、同理，月球绕地球做圆周运动，由地球的万有引力提供向心力，则有：
$G\frac{{M}_{地}^{\;}{m}_{月}^{\;}}{{r}_{1}^{2}}={m}_{月}^{\;}\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{1}^{2}}{r}_{1}^{2}$③
则得：${M}_{地}^{\;}=\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{1}^{3}}{G{T}_{1}^{2}}$④
由②④知$\frac{{r}_{1}^{3}}{{T}_{1}^{2}}=\frac{{r}_{2}^{3}}{{T}_{2}^{2}}$是错误的；也可以由开普勒第三定律直接得到，因为不是同一中心天体，所以$\frac{{r}_{1}^{3}}{{T}_{1}^{2}}≠\frac{{r}_{2}^{3}}{{T}_{2}^{2}}$，故C错误
D、由于地球的半径未知，不能求出地球的体积，就不能求出地球的密度，故D错误．
故选：A．

点评 本题是典型的天体运动的问题，根据万有引力提供向心力是解决这类问题的基本思路，要知道知道环绕天体的轨道半径和周期，能求出中心天体的质量，而不能求出环绕天体的质量．