Question

13．如图所示，MN为绝缘板，PQ为MN的中垂线，O为MN的中点，在MN的下方有匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外（图中未画出），质量为m电荷量为q的粒子（不计重力）以某一速度从A点平行于MN的方向进入静电分析器，静电分析器内有均匀辐向分布的电场（电场方向指向O点），已知圆弧虚线的半径为R，其所在处场强为E，若离子恰好沿图中虚线做圆周运动后从小孔C垂直于MN进入下方磁场．
（1）求粒子运动的速度大小；
（2）粒子在磁场中运动，与MN板碰撞，碰后以原速率反弹，且碰撞时无电荷的转移，之后恰好从小孔D进入MN上方的三角形匀强磁场中，从A点平行于MC射出，OC=OD，则三角形磁场区域最小面积为多少？MN上下两区域磁场的磁感应强度之比为多少？
（3）在（2）问情景下，求粒子从A点出发后，第一次回到A点所经过的总时间为多少？

Answer 1

分析 （1）粒子在静电分析器中做匀速圆周运动，电场力提供向心力，由向心力与速度之间的关系式，即可求得粒子的速度大小．
（2）做出粒子的运动的轨迹图，结合数学知识可求得三角形区域的磁场的最小面积；在磁场中洛伦兹力提供向心力，在MN上方和下方分别列示可求得磁感应强度的比值．
（3）把这个运动分成三个阶段，分别是在第一象限、第二象限和第三四象限，分别求出三个阶段的时间，即可求得第一次回到A点所经过的总时间．

解答 解：（1）粒子进入静电分析器做圆周运动，故有：qE=$\frac{m{V}^{2}}{R}$
解得：V=$\sqrt{\frac{qER}{m}}$
（2）粒子从D到A匀速圆周运动，故由图示三角形区域面积最小值为：S=$\frac{{R}^{2}}{2}$
在磁场中洛伦兹力提供向心力，有：qVB=$\frac{m{V}^{2}}{R}$
解得：R=$\frac{mV}{qB}$
设MN下方的磁感应强度为B₁，上方的磁感应强度为B₂，
若只碰撞一次，则有：
R₁=$\frac{R}{2}$=$\frac{mV}{q{B}_{1}}$，
R₂=R=$\frac{mV}{q{B}_{2}}$，
解得：$\frac{{B}_{2}}{{B}_{1}}$=$\frac{1}{2}$
若碰撞n次，则有：
R₁=$\frac{R}{n+1}$=$\frac{mV}{q{B}_{1}}$
R₂=R=$\frac{mV}{q{B}_{2}}$
故有：$\frac{{B}_{2}}{{B}_{1}}$=$\frac{1}{n+1}$  
（3）粒子在电场中运动时间为：
t₁=$\frac{2πR}{4V}$=$\frac{π}{2}\sqrt{\frac{mR}{qE}}$
在MN下方的磁场中运动时间为：
t₂=$\frac{n+1}{2}$×2πR₁×$\frac{1}{V}$=$πR\sqrt{\frac{m}{qER}}$
在MN上方的磁场中运动时间为：
t₃=$\frac{1}{4}$×$\frac{2π{R}_{2}}{V}$=$\frac{π}{2}\sqrt{\frac{mR}{qE}}$
总时间为：
t=t₁+t₂+t₃=2π$\sqrt{\frac{mR}{qE}}$
答：（1）求粒子运动的速度大小为$\sqrt{\frac{qER}{m}}$；
（2）粒子在磁场中运动，与MN板碰撞，碰后以原速率反弹，且碰撞时无电荷的转移，之后恰好从小孔D进入MN上方的三角形匀强磁场中，从A点平行于MC射出，OC=OD，则三角形磁场区域最小面积为$\frac{{R}^{2}}{2}$，MN上下两区域磁场的磁感应强度之比为$\frac{1}{n+1}$  
（3）在（2）问情景下，求粒子从A点出发后，第一次回到A点所经过的总时间为2π$\sqrt{\frac{mR}{qE}}$．

点评 对于带电粒子在磁场的中的运动，可以进行如下的归类进行解析：
1、带电粒子在匀强磁场中匀速圆周运动基本问题 
找圆心、画轨迹是解题的基础．带电粒子垂直于磁场进入一匀强磁场后在洛伦兹力作用下必作匀速圆周运动，抓住运动中的任两点处的速度，分别作出各速度的垂线，则二垂线的交点必为圆心；或者用垂径定理及一处速度的垂线也可找出圆心；再利用数学知识求出圆周运动的半径及粒子经过的圆心角从而解答物理问题．
2、带电粒子在磁场中轨道半径变化问题
导致轨道半径变化的原因有：①带电粒子速度变化导致半径变化．如带电粒子穿过极板速度变化；带电粒子使空气电离导致速度变化；回旋加速器加速带电粒子等．②磁场变化导致半径变化．如通电导线周围磁场，不同区域的匀强磁场不同；磁场随时间变化．③动量变化导致半径变化．如粒子裂变，或者与别的粒子碰撞；④电量变化导致半径变化．如吸收电荷等．总之，由r=$\frac{mv}{qB}$看m、v、q、B中某个量或某两个量的乘积或比值的变化就会导致带电粒子的轨道半径变化．
3、带电粒子在磁场中运动的临界问题和带电粒子在多磁场中运动问题
带电粒子在磁场中运动的临界问题的原因有：粒子运动范围的空间临界问题；磁场所占据范围的空间临界问题，运动电荷相遇的时空临界问题等．审题时应注意恰好，最大、最多、至少等关键字
4、带电粒子在有界磁场中的极值问题
寻找产生极值的条件：①直径是圆的最大弦；②同一圆中大弦对应大的圆心角；③由轨迹确定半径的极值．
5、带电粒子在复合场中运动问题
复合场包括：磁场和电场，磁场和重力场，或重力场、电场和磁场．有带电粒子的平衡问题，匀变速运动问题，非匀变速运动问题，在解题过程中始终抓住洛伦兹力不做功这一特点．粒子动能的变化是电场力或重力做功的结果．
6、带电粒子在磁场中的周期性和多解问题
多解形成原因：带电粒子的电性不确定形成多解；磁场方向不确定形成多解；临界状态的不唯一形成多解，在有界磁场中运动时表现出来多解，运动的重复性形成多解．