Question

8．如图所示，半径分别为R和r（R＞r）的甲、乙两光滑圆轨道放置在同一竖直平面内，两轨道之间由一光滑水平轨道CD相连，在水平轨道CD上有一轻弹簧被a、b两个质量均为m的小球夹住，但不拴接．同时释放两小球，弹性势能全部转化为两球的动能，若两球获得相等动能，其中一只小球恰好能通过最高点．
（1）弹簧释放的弹性势能？
（2）另一个小球通过最高点时对轨道的压力是多少？
（3）若两小球恰好落到同一点，求CD的最大长度．

Answer 1

分析 （1）小球恰好能通过最高点，在最高点，由重力提供向心力，则半径越大，到达最高点的动能越大，而两球初动能相等，其中有一只小球恰好能通过最高点，所以是a球刚好到达最高点，此时对轨道的压力为零，对a球从离开弹簧到达最高点的过程中，根据动能定理求出a球的初速度，而两球初动能相等，初动能之和即为弹簧的弹性势能；
（2）两球初动能相等，在最高点，根据牛顿第二定律列式求解即可；
（3）ab两球离开轨道后做平抛运动，CD的距离等于两球平抛运动的水平距离之和，根据平抛运动的基本公式即可求解CD的距离．

解答 解：（1）由题意可以判断到a球恰好过最高点，最高点的速度为v₁，
$mg=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$
解得：${v}_{1}=\sqrt{gR}$
b球过最高点时的速度大小为v₂，两球获得相同的动能，根据能量守恒，有：
${E}_{P}=（mg•2R+\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}）×2=5mgR$
（2）因为两球弹开时具有相同的动能，则$mg•2R+\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}=mg•2r+\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}$
最高点有：$mg+F=m\frac{{{v}_{2}}^{2}}{r}$
解得：$F=\frac{mg（5R-5r）}{r}$
由作用力和反作用力可得小球通过最高点时对轨道的压力为$\frac{mg（5R-5r）}{r}$，
（3）ab两球离开轨道后做平抛运动，CD的距离等于两球平抛运动的水平距离之和，
a球运动的时间${t}_{a}=\sqrt{\frac{4R}{g}}$，所以a球水平位移${x}_{a}=v\sqrt{\frac{4R}{g}}$=2R，
设b球到达最高点的速度v_b，则
$\frac{1}{2}m{{v}_{b}}^{2}-{E}_{Kb}=-mg•2r$…①，
b球运动的时间${t}_{b}=\sqrt{\frac{4r}{g}}$…②，
b球的水平位移${x}_{b}={v}_{b}\sqrt{\frac{4r}{g}}$…③
由①②③解得：x_b=2$\sqrt{r（5R-4r）}$
则CD=x_a+x_b=2R+2$\sqrt{r（5R-4r）}$．
答：（1）弹簧释放的弹性势能为5mgR；
（2）另一个小球通过最高点时对轨道的压力是$\frac{mg（5R-5r）}{r}$；
（3）若两小球恰好落到同一点，CD的最大长度为2R+2$\sqrt{r（5R-4r）}$．

点评 本题主要考查了动能定理、向心力公式、平抛运动基本公式的直接应用，过程较为复杂，要求同学们能正确分析小球的运动过程中，能根据基本规律解题，难度适中．