Question

8．甲、乙两车均沿同一平直公路同向行驶（该路段限速72km/h）．初始时刻，甲车在乙车前方s₀=65m处．甲车始终以v₁=15m/s的速度匀速运动．乙车作初速度为零，加速度a=2.5m/s²的匀加速直线运动．求：
（1）乙车追上甲车之前，两车之间的最大距离s_m；
（2）经过多少时间t，乙车追上甲车？

Answer 1

分析 （1）在乙车追上甲车之前两车速度相等时相距最远，据速度时间关系和位移时间关系求得最大距离；
（2）乙车追上甲车时两车位移差等于65m，据位移时间关系求解，关键是乙车是否一直匀加速运动要进行判断；

解答 解：（1）两车速度相同时距离最大，设经时间t₁达到最大距离，则有：
v₂=at₁=v₁
代入数据解得：t₁=$\frac{15}{2.5}s=6s$
此时甲车位移为：x₁=v₁t₁=15×6=90m
乙车位移为：${x}_{2}^{\;}=\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}$=$\frac{1}{2}×2.5×{6}_{\;}^{2}=45m$
两车之间最大距离为：s_m=x₁+s₀-x₂=90+65-45=110m
（2）如果甲一直做匀加速直线运动，乙车追上甲车需满足x₂=x₁+s₀，即：
$\frac{1}{2}a{t}_{\;}^{2}={v}_{1}^{\;}t+{s}_{0}^{\;}$
代入数据$\frac{1}{2}×2.5{t}_{\;}^{2}=15t+65$
解得：t=$2（3+\sqrt{61}）$s≈21.6s
此时甲的速度${v}_{甲}^{\;}=at=2.5×21.6＞20m/s$
所以甲先做匀加速运动，达到最大速度后匀速运动
$\frac{{v}_{m}^{2}}{2a}+{v}_{m}^{\;}（t-\frac{{v}_{m}^{\;}}{a}）={v}_{1}^{\;}t+{s}_{0}^{\;}$
代入数据：t=29s
答：（1）乙车追上甲车之前，两车之间的最大距离s_m为110m；
（2）过29s时间乙车追上甲车．

点评 解决本题的关键是掌握追及相遇问题相距最大或最近距离的临界条件是两车速度相等．