Question

6．如图所示，在直角坐标系xOy中，x轴沿水平方向，y轴沿竖直方向，O点上方有一曲面，其方程为y=x²（数值关系）．一根长为l=1m的轻绳一端固定在A点，另一端系一质量m=1.2kg的小球（可视为质点）．将小球拉至水平位置B由静止释放，小球沿圆周运动到最低点C时恰好被切断，之后落到曲面上的D点．已知A、O两点的高度差为h=2m，忽略空气阻力，取g=10m/s²．求：
（1）小球从C点运动到曲面上D点的时间t；
（2）若保持A点位置不变，改变绳长l（0＜l＜h），同样将小球拉至水平位置由静止释放，假设小球通过y轴时轻绳恰好被切断，分析绳长l多大时，小球落到曲面时动能E_k最小，运能的最小值是多少？

Answer 1

分析 （1）绳子断裂后，小球做平抛运动，应用平抛运动规律求出小球的运动时间．
（2）小球运动过程机械能守恒，绳子断裂后做平抛运动，应用机械能守恒定律、平抛运动规律求出动能的表达式，然后求出动能的最小值．

解答 解：（1）小球从B运动到C过程机械能守恒，
由机械能守恒定律得：mgl=$\frac{1}{2}$mv²，代入数据解得：v=2$\sqrt{5}$m/s，
绳被拉断后，小球做平抛运动，
水平方向：x=vt，竖直方向：y′=$\frac{1}{2}$gt²，
y=1-y′，由题意可知：y=x²，
代入数据解得：t=0.2s；
（2）小球从B运动到C过程机械能守恒，
由机械能守恒定律得：mgl=$\frac{1}{2}$mv²，
绳被拉断后，小球做平抛运动，
水平方向：x=vt，竖直方向：y′=$\frac{1}{2}$gt²，
y=h-l-y′，由题意可知：y=x²，
解得：y=$\frac{4l（2-l）}{4l+1}$
从B到小球落到曲面上整个过程中，
由动能定理得：mg（h-y）=E_K，
解得：E_K=$\frac{24（2{l}^{2}+1）}{4l+1}$，
由于：$\frac{2{l}^{2}+1}{4l+1}$=$\frac{4l+1}{8}$+$\frac{9}{8（4l+1）}$-$\frac{1}{4}$，
当$\frac{4l+1}{8}$=$\frac{9}{8（4l+1）}$，即：l=0.5时，$\frac{2{l}^{2}+1}{4l+1}$有最小值，最小值为0.5，
则当绳长l=0.5m时，小球落到曲面上时的动能最小，代入数据解得，最小值：E_Kmin=12J；
答：（1）小球从C点运动到曲面上D点的时间t为0.2s；
（2）当绳长l为0.5m时，小球落到曲面时动能E_k最小，运能的最小值是12J．

点评 本题考查了求小球的运动时间、小球的最小动能，分析清楚小球运动过程，应用机械能守恒定律与平抛运动规律即可正确解题．