Question

1．如图所示，水平轨道AB与位于竖直面内半径为R=0.9m的半圆形光滑轨道BCD相连，半圆形轨道的BD连线与AB垂直．质量为m=1.0kg可看作质点的小滑块在恒定外力F作用下从水平轨道上的A点由静止开始向右运动，到达水平轨道的末端B点时撤去外力，小滑块继续沿半圆形轨道运动，且恰好能通过轨道最高点D，滑块脱离半圆形轨道后又刚好落到A点（g取10m/s²），求：
（1）AB段的距离是多少？
（2）滑块经过B点的速度是多少？
（3）滑块经过B点进入圆形轨道时对轨道的压力大小是多少？

Answer 1

分析 （1）物体恰好通过最高点，意味着在最高点是轨道对滑块的压力为0，即重力恰好提供向心力，这样我们可以求出v_D，然后根据平抛运动的分运动公式列式求解AB段的距离；
（2）在从B到D的过程中质点仅受重力和轨道的支持力，而轨道的支持力不做功，共可以根据动能定理求出物体在B的速度；
（3）在B点根据支持力和重力的合力提供向心力得出物体在B点所受的支持力，最后根据牛顿第三定律得到压力．

解答 解：（1）小滑块恰好通过最高点，则有：mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
解得：v_D=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{10×0.9}$=3m/s；
从D到A过程做平抛运动，故：
x=v_Dt
2R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
联立解得：
x=${v}_{D}\sqrt{\frac{4R}{g}}$=3×$\sqrt{\frac{4×0.9}{10}}$=1.8m
（2）设滑块到达B点时的速度为v_B，滑块由B到D过程由动能定理有：
-2mgR=$\frac{1}{2}$mv²_D-$\frac{1}{2}$mv²_B
解得：${v}_{B}=\sqrt{{v}_{D}^{2}+4gR}$=$\sqrt{{3}^{2}+4×10×0.9}$=3$\sqrt{5}$m/s
（3）在B点，根据牛顿第二定律，有：
F_N-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
代入数据得：
F_N=mg+m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$=1×10+1×$\frac{（3\sqrt{5}）^{2}}{0.9}$=60N
由牛顿第三定律知滑块在B点对轨道的压力为60 N，方向竖直向下；
答：（1）AB段的距离是1.8m；
（2）滑块经过B点的速度是3$\sqrt{5}$m/s；
（3）滑块经过B点进入圆形轨道时对轨道的压力大小是60N．

点评 ①物体恰好通过D点是本题的突破口，这一点要注意把握；
②题目要求滑块经过B点进入圆形轨道时对轨道的压力大小而根据物体在B点的运动情况所求的是轨道对物体的支持力，故运动别忘记“由牛顿第三定律知滑块在B点对轨道的压力为60 N”．