Question

11．如图甲所示，粗糙斜面Q的倾斜角θ=30°，小物块p恰好能沿斜面匀速下滑，现将斜面抬高，使斜面Q的倾斜角变为β=37°，如图乙所示，在Q右侧施加向左的水平力（未画出），使P和Q一起向左匀加速度运动，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，已知重力加速度为g，sin37°=0，cos37°=0.8．
（1）当P和Q之间恰好无摩擦力时，求加速度的大小；
（2）若改变β，当加速度a=2g时，要使P和Q不发生相对滑动，求β的最小值．（可以用β的三角函数表示）

Answer 1

分析 （1）当P和Q之间恰好没有摩擦力时，P受重力和支持力两个力作用，根据牛顿第二定律求出加速度的大小．
（2）加速度a=2g时，要使P和Q不发生相对滑动，当β有最小值时，受到沿斜面向下的最大静摩擦力，运用正交分析，抓住水平方向有合力，竖直方向上的合力为零，求出β的最小值．

解答 解：（1）当P和Q之间恰好无摩擦力时，P受重力和支持力两个力作用，
根据牛顿第二定律得，mgtanβ=ma，
解得a=$gtanβ=10×\frac{3}{4}m/{s}^{2}=7.5m/{s}^{2}$．
（2）物块开始能匀速下滑，有：mgsin30°=μmgcos30°，
则动摩擦因数μ=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
加速度a=2g时，要使P和Q不发生相对滑动，当β有最小值时，受到沿斜面向下的最大静摩擦力，
根据牛顿第二定律知，水平方向上有：Nsinβ+fcosβ=ma，
竖直方向上有：Ncosβ=fsinβ+mg，
f=μN，
联立解得$tanβ=\frac{2\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+2}$．
答：（1）当P和Q之间恰好无摩擦力时，加速度的大小为7.5m/s²；
（2）β的最小值的正切值为$tanβ=\frac{2\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+2}$．

点评 本题考查了牛顿第二定律的临界问题，知道恰好没有摩擦力时，受重力和支持力作用；加速度a=2g时，要使P和Q不发生相对滑动，当β有最小值时，受到沿斜面向下的最大静摩擦力，结合牛顿第二定律进行求解，难度中等．