Question

18．一根长L=0.5m的细绳，当它受到F_m=20N的拉力时会被拉断，今将它的一端拴着质量m=0.4kg的小球，以另一端为中心，使小球在光滑水平面上以L为半径做匀速圆周运动，求：
（1）当小球的运动速度v₀=2.0m/s时，小球的向心加速度大小a；
（2）细绳刚好被拉断时，小球的角速度ω：
（3）通过计算判断该细绳所栓的小球能否在竖直平面内刚好做完整的圆周运动？

Answer 1

分析 （1）根据向心加速度公式求出小球的向心加速度．
（2）根据最大拉力，结合拉力提供向心力求出小球的角速度．
（3）根据牛顿第二定律求出最高点的临界速度，结合动能定理和牛顿第二定律求出最低点绳子的拉力，与最大拉力比较，判断小球能否在竖直平面内刚好做完整的圆周运动．

解答 解：（1）小球的向心加速度为：a=$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{L}=\frac{4}{0.5}m/{s}^{2}=8m/{s}^{2}$．
（2）细绳刚好被拉断时，有：${F}_{m}=mL{ω}^{2}$
解得：$ω=\sqrt{\frac{{F}_{m}}{mL}}=\sqrt{\frac{20}{0.4×0.5}}rad/s=10rad/s$．
（3）若小球在竖直平面内做圆周运动，在最高点，根据mg=$m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{L}$得最高点的最小速度为：${v}_{1}=\sqrt{gL}=\sqrt{5}$m/s，
根据动能定理得：$mg•2L=\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$，
代入数据解得：v₂=5m/s，
根据牛顿第二定律得：F-mg=$\frac{{{v}_{2}}^{2}}{L}$
解得：F=$mg+m\frac{{{v}_{2}}^{2}}{L}=4+0.4×\frac{25}{0.5}N=24N$＞F_m，
可知小球不能在竖直平面内做完整的圆周运动．
答：（1）小球的向心加速度大小为8m/s²；
（2）细绳刚好被拉断时，小球的角速度为10rad/s．
（3）小球不能在竖直平面内刚好做完整的圆周运动．

点评 解决本题的关键知道小球做圆周运动向心力的来源，结合牛顿第二定律进行求解，难度不大．