Question

13．质量都为m的两太空站a、b在同一轨道平面沿同方向绕地球做匀速圆周运动；地球半径为R，表面重力加速度为g；a离地面的高度等于R，b离地面的高度为2R，则
（1）a的运行角速度ω_a是多少？
（2）假设，为满足科学研究需要，有时要让不同轨道高度的两空间站的运行速度一样，这时可以用一条任性足够强的轻绳将a、b两空间站连接起来，调节a、b的速度，使它们的连线过地心并稳定运行，忽略a、b间的万有引力，求此时绳子的拉力F和a、b的角速度ω？

Answer 1

分析 （1）根据地球表面的物体万有引力等于重力列式，对a空间站，根据万有引力提供向心力列式，联立方程即可求解；
（2）分别对ab两个空间站受力分析，根据合外力提供向心力列式求解即可．

解答 解：（1）地球表面一质量为m₀的物体，其万有引力等于重力，则有：
$G\frac{M{m}_{0}}{{R}^{2}}={m}_{0}g$，
对a空间站，根据万有引力提供向心力得：
$G\frac{Mm}{（2R）^{2}}=m{{ω}_{a}}^{2}•2R$
解得：${ω}_{a}=\sqrt{\frac{g}{8R}}$
（2）a空间站受万有引力和沿半径向外的拉力，由合力提供向心力得：
$G\frac{Mm}{{（2R）}^{2}}-F=m{{ω}_{\;}}^{2}•2R$
b空间站受万有引力和沿半径向里的拉力，由合力提供向心力得：
$G\frac{Mm}{{（3R）}^{2}}+F=m{{ω}_{\;}}^{2}•3R$
解得：F=$\frac{19mg}{180}$，$ω=\sqrt{\frac{13g}{180R}}$
答：（1）a的运行角速度ω_a是$\sqrt{\frac{g}{8R}}$；
（2）此时绳子的拉力F为$\frac{19mg}{180}$，a、b的角速度ω为$\sqrt{\frac{13g}{180R}}$．

点评 本题主要考查了万有引力提供向心力公式的直接应用，注意若用一条任性足够强的轻绳将a、b两空间站连接起来，则ab的角速度相等，同时注意黄金代换式的应用，难度适中．