Question

3．如图所示，竖直平面内有一轨道由半径为R的光滑半圆弧ABC部分和水平足够长的粗糙部分组成，一质量为m的小圆环套下轨道上运动，与轨道间的动摩擦因数μ=0.5，且小圆环在轨道上受到水平向左、大小不变的恒力作用，离开轨道恒力即消失．已知圆环从圆弧最高点A有静止释放后，最远能运动到水平轨道上距离C点R的P₁位置．求（重力加速度g）
（1）水平恒力的大小F；
（2）若将小环从水平轨道上P₂处由静止释放，小环刚好能运动到圆弧最高点A，则小环运动到圆心等高的B点时受轨道作用的弹力多大．
（3）若如图虚线所示，在A点右侧放置宽和高均为$\frac{R}{2}$的四级台阶，欲使小环从水平轨道上P₃处由静止释放，要求小环离开A点后，刚好能落在第三级台阶上，则P₃应距C点多远范围内释放？

Answer 1

分析 （1）对A到P₁位置的过程运用动能定理，求出水平恒力F的大小．
（2）对P₂处到最高点的过程运用动能定理，求出P₂处距离C点的距离，再对P₂处到圆心等高点B运用动能定理，求出B点的速度，结合牛顿第二定律求出弹力的大小．
（3）根据平抛运动的规律求出最高点抛出的初速度范围，再结合动能定理求出P₃应距C点的距离范围．

解答 解：（1）从A到P₁位置运用动能定理得：mg2R-FR-μmgR=0，
代入数据解得：F=1.5mg．
（2）小环从水平轨道上P₂处由静止释放，小环刚好能运动到圆弧最高点A，即到达A点的速度为零．根据动能定理得：
Fx-mg•2R-μmgx=0，
解得：x=2R，
小环运动到圆心等高的B点过程运用动能定理得：$Fx-mgR-μmgx=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$，
根据牛顿第二定律得：N=$m\frac{{{v}_{B}}^{2}}{R}$，
联立解得：N=2mg．
（3）小环离开A点做平抛运动，根据$tan45°=\frac{\frac{1}{2}g{t}^{2}}{{v}_{0}t}=\frac{gt}{2{v}_{0}}$，解得：t=$\frac{2{v}_{0}}{g}$，
要求小环离开A点后，刚好能落在第三级台阶上，则有：$2×\frac{R}{2}＜{v}_{0}t＜3×\frac{R}{2}$，
解得：$\sqrt{\frac{gR}{2}}＜v＜\sqrt{\frac{3gR}{4}}$，
从P₃到A点运用动能定理得：$Fx′-μmgx′-mg2R=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}-0$，
解得：$\frac{9R}{4}＜x′＜\frac{19R}{8}$．
答：（1）水平恒力的大小F为1.5mg．
（2）小环运动到圆心等高的B点时受轨道作用的弹力为2mg．
（3）P₃应距C点的范围为$\frac{9R}{4}＜x′＜\frac{19R}{8}$．

点评 本题考查了动能定理与牛顿第二定律的综合运用，涉及到圆周运动、平抛运动，知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律以及圆周运动向心力的来源是解决本题的关键．