题目内容
18．
一人骑自行车由静止开始上一长L=200m斜坡，斜坡坡度为0.05（沿斜坡前进100m，高度上升5m），自行车达到最大速度前做加速度a=1m/s2的匀加速直线运动，达到最大速度后脚蹬踏板使大齿轮以n=$\frac{4}{π}$转/秒的转速匀角速转动，自行车匀速运动一段时间后，由于骑行者体能下降，自行车距离坡顶50m处开始做匀减速运动，已知最后50m的平均速度只有之前平均速度的84%．此人质量M=60kg，自行车质量m=15kg，大齿轮直径d1=15cm，小齿轮直径d2=6cm，车轮直径d3=60cm．运动过程中，自行车受到大小恒为f=20N的摩擦阻力作用．取g=10m/s2，求：（1）运动过程中自行车的最大速度vm和到达坡顶时的速度v；
（2）从坡底到坡顶，此人做功的平均功率．
分析 （1）根据匀速运动时大齿轮的转速求出角速度的大小，抓住大齿轮和小齿轮线速度相等求出小齿轮的角速度，结合小齿轮和后轮的角速度相等求出最大速度．根据运动学公式求出匀加速直线运动和匀速直线运动的位移，求出50m之前的平均速度，从而得出最后50m的平均速度，结合平均速度的推论求出到达坡顶的速度．
（2）根据动能定理求出全过程中人做功的大小，结合匀加速、匀速和匀减速直线运动的时间，求出人做功的平均功率．
解答 解：（1）以最大速度做匀角速转动时，大齿轮的角速度为：${ω}_{1}=2πn=2π×\frac{4}{π}=8rad/s$，
根据$\frac{{d}_{1}}{2}{ω}_{1}=\frac{{d}_{2}}{2}{ω}_{2}$得小齿轮的角速度为：${ω}_{2}=\frac{{d}_{1}}{{d}_{2}}{ω}_{1}=\frac{15}{6}×8=20rad/s$，
后轮的角速度与小齿轮的角速度相等，则自行车的最大速度为：${v}_{m}=\frac{{d}_{3}}{2}{ω}_{2}=\frac{0.6}{2}×20m/s=6m/s$
匀加速直线运动的位移为：${x}_{1}=\frac{{{v}_{m}}^{2}}{2a}=\frac{36}{2}m=18m$，
匀速运动的位移为：x2=200-18-50m=132m，
匀加速运动的时间为：${t}_{1}=\frac{{v}_{m}}{a}=\frac{6}{1}s=6s$，
匀速运动的时间为：${t}_{2}=\frac{{x}_{2}}{{v}_{m}}=\frac{132}{6}s=22s$，
最后50m之前的平均速度为：$\overline{{v}_{1}}=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{t}_{1}+{t}_{2}}=\frac{150}{28}m/s$，
则最后50m内的平均速度为：$\overline{{v}_{2}}=84%×\overline{{v}_{1}}=\frac{84}{100}×\frac{150}{28}m/s=4.5m/s$，
根据平均速度的推论知，$\overline{{v}_{2}}=\frac{v+{v}_{m}}{2}$，
代入数据解得：v=3m/s．
（2）根据动能定理得：W-（M+m）gLsinθ-fL=$\frac{1}{2}（M+m）{v}^{2}$-0，
代入数据解得：W=11837.5J，
最后50m匀减速直线运动的时间为：${t}_{3}=\frac{{x}_{3}}{\overline{{v}_{2}}}=\frac{50}{4.5}s=11s$，
则从坡底到坡顶，此人做功的平均功率为：$\overline{P}=\frac{W}{t}=\frac{11837.5}{6+22+11}W=303.5W$．
答：（1）运动过程中自行车的最大速度为6m/s，到达坡顶时的速度为3m/s；
（2）从坡底到坡顶，此人做功的平均功率为303.5W．
点评 本题考查了圆周运动、匀变速直线运动的综合运用，知道大齿轮和小齿轮边缘上的线速度相等，小齿轮和后轮的角速度相等．
阅读快车系列答案| A． | 具有水平方向的速度和水平方向的加速度 | |
| B． | 速度为0，加速度向下 | |
| C． | 速度不为0，加速度为0 | |
| D． | 具有水平方向的速度和向下的加速度 |
| A． | 选用质量大的比较好 | |
| B． | 重物所受重力应与它所受的阻力平衡 | |
| C． | 选用体积小的比较好 | |
| D． | 重物所受重力应远大于它所受的阻力 |
| A． | 2V1 | B． | 3V1 | C． | 4V1 | D． | 5V1 |
如图所示，形状为半个正弦图线的金属导线两端与两金属小环a、b连接，两环套在光滑长直金属杆上，导线电阻为R，其余电阻不计，a、b间距为L，导线顶部到杆的距离为d．在外力F作用下，导线沿杆以恒定的速度v向右运动，穿过宽度也为L的匀强磁场区域，运动过程中导线所在平面始终与磁场垂直，两环与金属杆保持良好接触．从导线进入磁场到全部离开磁场的过程中（ ）| A． | 导线中电流的最大值为$\frac{vBd}{R}$ | B． | 导线中电流的有效值为$\frac{vBd}{2R}$ | ||
| C． | 外力F做的功为$\frac{{B}^{2}{d}^{2}vL}{2R}$ | D． | 外力F做的功为$\frac{{B}^{2}{d}^{2}vL}{R}$ |
“套圈圈”是街上常见的一种游戏．某小孩和大人直立在界外，在同一水平线上各自胸前高度分别水平抛出小圆环，并恰好套中前方同一物体．假设小圆环的运动可以视为平抛运动，则（ ）| A． | 小孩抛出圆环时的速度应大些 | |
| B． | 大人抛出的圆环运动时间较短 | |
| C． | 小孩抛出的圆环运动发生的位移较大 | |
| D． | 小孩抛出的圆环单位时间内速度变化量较大 |