Question

如图所示，质量为M长方体木板A放在光滑的水平面上，一个质量为m小物体B从长方体木板A的最左端以水平向右的初速度v₀沿木板上表面开始运动，假设运动的整个过程中小物体B受到竖直向上的恒力F=

4

5

mg的作用，当小物体B滑到木板A的最右端时，小物体与木板恰好相对静止．

（1）若已知木板的长为l，小物体与木板之间的动摩擦因数为μ，当地的重力加速度为g，求木板的质量M与小物体的质量m的比值；
（2）如只将小物体B受到的恒力F大小保持不变，方向变为竖直向下，当小物体B以另一水平向右的初速度v₀从木板的最左端开始运动，当小物体滑到木板的最右端时，小物体与木板也恰好相对静止，求

v

′ 0

与v0之比．

Answer 1

分析：（1）由两物体的受力可以求得其加速度，由于当小物体B滑到木板A的最右端时，小物体与木板恰好相对静止，故两者末速度相等，列位移关系式，可以解得质量之比．
（2）力F的方向改变，会改变M与m间的摩擦力，进而改变加速度，依据力的改变算出M和m的加速度，代入表达式可以得到速度比值

解答：解：
（1）m竖直方向受重力，支持力N，F三力平衡，故有：mg=N+F，水平方向受摩擦力，由牛顿第二定律：-f=ma₁，f=μN=μ（mg-F），
解得：a1=

-f

m

=

-μ(mg-F)

m

=-0.2μg，对M其水平方向受摩擦力大小为f，方向向右，故其加速度为：a2=

f

M

=

μmg

5M

，
对m由运动学得：x1=v0t+

1

2

a1t2，
对M：x2=

1

2

a2t2，由位移关系：x₁-x₂=l，代入：v0t+

1

2

a1t2-

1

2

a2t2=l①，
又末速度相等：a₂t=v₀+a₁t
即：t=

v0

a2-a1

②，
解得：

v02

2l

=a2-a1③，
即：

v02

2l

=

μmg

5M

+

μg

5

④，
解得

m

M

=

5v02

2μgl

-1
（2）若力F变为向下，对m有N=mg+F，则m的加速度变为：a1′=

-f′

m

=

-μ(mg+F)

m

=-

9μg

5

，
M的加速度变为：a2′=

f′

M

=

9μmg

5M

，带入③式得：

v0′2

2l

=

9μmg

5M

+

9μg

5

，
解得：v0′=

2l( 9μmg 5M + 9μg 5 )

，
由④解得：v0=

2l( μmg 5M + μg 5 )

，
故

v

′ 0

与v0之比为：

v0′

v0

=3：1
答：（1）木板的质量M与小物体的质量m的比值为：

m

M

=

5v02

2μgl

-1
（2）

v

′ 0

与v0之比为：

v0′

v0

=3：1

点评：本题重点要能从位移和速度的关系式变化出质量的比值，主要就是公式的变形处理问题．