Question

如图所示，质量为M=0.60Kg的小沙箱，被长为L=1.60m的细绳悬于空中某点，现从左向右用枪以v₀=10m/s的速度向沙箱发射质量m=0.20Kg的子弹，假设沙箱每次在最低点时，就恰好有一颗子弹射入沙箱，并留在其中．（g=10m/s²，不计空气阻力，子弹与沙箱相互作用时间极短）则：
①第一颗子弹射入沙箱后，沙箱能否做完整的圆周运动？计算并说明理由．
②第二颗、三颗子弹射入沙箱并相对沙箱静止时，沙箱的速度分别为多大？

Answer 1

分析：①沙箱要能做完整的圆周运动，到达最高点的速度最小为v=

gR

，由重力恰好提供向心力求得v．根据机械能守恒，求出沙箱在最低点的最小速度．根据子弹射入沙箱的过程系统的动量守恒，列式求出第一颗子弹射入沙箱后共同速度，与最低点最小速度比较，即可判断沙箱能否做完整的圆周运动．
②根据动量守恒定律列方程，求解第二颗、三颗子弹射入沙箱并相对沙箱静止时沙箱的速度．

解答：解：①第一颗子弹射入沙箱过程，根据动量守恒得：
  mv₀=（M+m）v₁
∴v₁=

mv0

M+m

=

0.2×10

0.8+0.2

=2m/s；
若沙箱能做完整的圆周运动，设在最高点的速度应为v，则由
  （M+m）g=（M+m）

v2

R

得 v=

gR

=

10×1.6

m/s=4m/s；
设在最低点的速度为v′，则根据机械能守恒得：
  （M+m）g?2L+

1

2

(M+m)v2=

1

2

(M+m)v′2
则得，v′=

v2+4gL

=

42+2×10×1.6

m/s=4

3

m/s
 而v₁＜v′，所以不能作完整的圆周运动．
②第二颗子弹射入，设向右为正，由动量守恒得：
  mv₀-（M+m）v₁=（M+2m）v₂
∴v₂=

mv0-(M+m)v1

M+2m

=

0.2×10-(0.8+0.2)×2

0.8+2×0.2

=0
第三颗子弹射入，则有：
  mv₀=（M+3m）v₃
∴v₃=

mv0

M+3m

=

0.2×10

0.8+3×0.2

m/s=1.67m/s；
答：
①第一颗子弹射入沙箱后，沙箱不能做完整的圆周运动．
②第二颗、三颗子弹射入沙箱并相对沙箱静止时，沙箱的速度分别为0和1.67m/s．

点评：本题动量守恒与圆周运动的临界条件、机械能守恒的综合，采用归纳法分析是关键．