Question

19．如图所示，质量为m₁的滑块（可视为质点）自光滑圆弧槽的顶端A处无初速度的滑下．槽的底端与水平传送带相切于左传导轮顶端的B点，A、B的高度差为h₁=1.25m．传导轮半径很小，两个轮子之间的距离为L=4.0m，滑块与传送带间的动摩擦因数μ=0.1．传送带距离地面高度h₂=1.80m，（g取10m/s²）．
（1）若槽的底端没有放滑块m₂，传送带静止不运转，求滑块m₁滑过C点时的速度大小v；
（2）若下滑前将质量为m₂的滑块（可视为质点）停放在槽的底端．m₁下滑后与m₂发生弹性碰撞，且碰撞后m₁速度方向不变，则m₁、m₂应该满足什么条件？
（3）满足（2）的条件前提下，若传送带顺时针运转，且速度大小恒为v=2$\sqrt{6}$m/s．求m₁、m₂满足一定关系时两滑块落地点间的最大距离△x．

Answer 1

分析 1、滑块m₁由A点滑至B点过程，由机械能守恒定律列出等式，由B点滑至C点过程，由动能定理求解
2、滑块m₂停放在槽的底端，滑块m₁下滑后与m₂发生弹性碰撞，由动量守恒定律和能量守恒定律列出等式求解
3、根据平抛运动的规律和动能定理列出等式求解

解答 解：（1）滑块m₁由A点滑至B点过程，由机械能守恒定律：m₁gh₁=${\frac{1}{2}m}_{1}$${v}_{0}^{2}$
解得：v₀=5m/s
滑块m₁由B点滑至C点过程，由动能定理：-μm₁gL=${\frac{1}{2}m}_{1}$v²-${\frac{1}{2}m}_{1}$${v}_{0}^{2}$
解得：v=$\sqrt{17}$m/s
（2）滑块m₂停放在槽的底端，滑块m₁下滑后与m₂发生弹性碰撞，
由动量守恒定律：m₁v₀=m₁v₁+m₂v₂
由能量守恒定律：${\frac{1}{2}m}_{1}$${v}_{0}^{2}$=$\frac{1}{2}$m₁v₁²+$\frac{1}{2}$m₂v₂²
据题意，碰撞后m₁的速度方向不变，即v₁=$\frac{{{m}_{1}-m}_{2}}{{{m}_{1}+m}_{2}}$v₀＞0
所以m₁＞m₂
（3）滑块经过传送带后做平抛运动，
由h₂=$\frac{1}{2}$gt²解得t=0.6s．
当m₁＞＞m₂时，滑块碰撞后的速度相差最大，经过传送带后速度相差也最大．
v₁=$\frac{{{m}_{1}-m}_{2}}{{{m}_{1}+m}_{2}}$v₀=v₀=5m/s
v₂=$\frac{{2m}_{1}}{{{m}_{1}+m}_{2}}$v₀=2v₀=10m/s
由于滑块m₁与传送带速度相同，不受摩擦力，m₁水平射程：
x₁=v₁t=3m
滑块m₂与传送带间有摩擦力作用，由动能定理：
-μm₂gL=${\frac{1}{2}m}_{2}$${v′}_{2}^{2}$-$\frac{1}{2}$m₂${v}_{2}^{2}$
解得：v′₂=2$\sqrt{21}$m/s
m₂水平射程：x₂=v′₂t=$\frac{6}{5}$$\sqrt{21}$ m
滑块m₁、m₂落地点间的最大距离是△x=（$\frac{6}{5}$$\sqrt{21}$-3）m
答：（1）槽的底端没有滑块m₂，传送带静止不运转，滑块m₁滑过C点时的速度大小是$\sqrt{17}$m/s；
（2）在m₁下滑前将质量为m₂的滑块（可视为质点）停放在槽的底端．m₁下滑后与m₂发生弹性碰撞，且碰撞后m₁速度方向不变，则m₁、m₂应该满足m₁＞m₂
（3）满足（2）的条件前提下，传送带顺时针运转，速度为v=5.0m/s．滑块m₁、m₂落地点间的最大距离是（$\frac{6}{5}$$\sqrt{21}$-3）m

点评 解决该题关键要清楚不同的物体不同时间的运动情况，掌握动量守恒定律、动能定理和能量守恒定律的应用，难度较大．