Question

10．如图所示，在倾角为30°的斜面上，固定一宽度为L=0.25m的足够长平行金属光滑导轨，在导轨上端接入电源和滑动变阻器．电源电动势为E=3.0V，内阻为r=1.0Ω．一质量m=20g的金属棒ab与两导轨垂直并接触良好．整个装置处于垂直于斜面向上的匀强磁场中，磁感应强度为B=0.80T．导轨与金属棒的电阻不计，取g=10m/s²．
（1）如要保持金属棒在导轨上静止，滑动变阻器接入到电路中的阻值是多少；
（2）如果拿走电源，直接用导线接在两导轨上端，滑动变阻器阻值不变化，求金属棒所能达到的最大速度值；
（3）在第（2）问中金属棒达到最大速度前，某时刻的速度为10m/s，求此时金属棒的加速度大小．

Answer 1

分析 （1）要保持金属棒在导轨上静止时，金属棒受力要平衡，分析其受力情况，由平衡条件求解金属棒所受到的安培力F，由F=BIL求解通过金属棒的电流；根据闭合电路欧姆定律求解滑动变阻器R接入到电路中的阻值．
（2）金属棒由静止向下滑行做匀速运动时，速度达到最大．推导出安培力表达式，由平衡条件求解最大速度．
（3）先求出安培力的大小，再根据牛顿第二定律求解加速度的大小．

解答 解：（1）由于金属棒静止在金属轨道上，受力平衡，如图所示，
安培力 F_安=BIL
根据平衡条件知 F_安=mgsin30°
联立得 I=$\frac{mgsin30°}{BL}$=0.5A    
设变阻器接入电路的阻值为R，根据闭合电路欧姆定律
 E=I（R+r） 
联立解得 R=$\frac{E}{I}-r$=5Ω   
（2）金属棒达到最大速度时，将匀速下滑，此时安培力大小、回路中电流大小应与上面情况相同，即金属棒产生的电动势 E=IR=0.5×5V=2.5V
由E=BLv 得$v=\frac{E}{BL}$=$\frac{2.5}{0.8×0.25}$=12.5m/s
（3）当棒的速度为10m/s，所受的安培力大小为 F′_安=BI′L=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v′}{R}$=$\frac{0．{8}^{2}×0.2{5}^{2}×10}{5}$N=0.08N
根据牛顿第二定律得：mgsin30°-F′_安=ma
解得 a=1m/s²．
答：
（1）如要保持金属棒在导轨上静止，滑动变阻器接入到电路中的阻值是5Ω；
（2）金属棒所能达到的最大速度值是12.5m/s．
（3）此时金属棒的加速度大小是1m/s²．

点评 本题是金属棒平衡问题和动力学问题，关键分析受力情况，特别是分析和计算安培力的大小．