Question

9．如图所示，M是水平放置的半径足够大的圆盘，绕过其圆心的竖直轴匀速转动，规定经过圆心O点且水平向右为x轴正方向．在O点正上方距盘面高为h=1.25m处有一个可间断滴水的容器，从t=0时刻开始，容器沿水平轨道向x轴正方向做初速度为零的匀加速直线运动．已知t=0时刻滴下第一滴水，以后每当前一滴水刚好落到盘面时再滴下一滴水．则：（取g=10m/s²）
（1）每一滴水离开容器后经过多长时间滴落到盘面上？
（2）要使每一滴水在盘面上的落点都位于同一直线上，圆盘的角速度应为多大？
（3）当圆盘的角速度为2πrad/s时，第二滴水与第三滴水在盘面上落点间的距离2m，求容器的加速度a为多大？

Answer 1

分析 （1）离开容器后，每一滴水在竖直方向上做自由落体运动，水平方向做匀加速直线运动，水滴运动的时间等于竖直方向运动的时间，由高度决定；
（2）要使每一滴水在盘面上的落点都位于同一直线上，则圆盘在t秒内转过的弧度为kπ，k为不为零的正整数；
（3）通过匀加速直线运动的公式求出两个水滴在水平方向上的位移，再算出两个位移之间的夹角，根据位移关系算出容器的加速度．

解答 解：（1）由于离开容器后，每一滴水在竖直方向上做自由落体运动．
所以每一滴水滴落到盘面上所用时间$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$
    （2）因为使每一滴水在盘面上的落点都位于同一直线，则圆盘在t秒内转过的弧度为kπ，k为不为零的正整数．
所以：ωt=kπ        
     即$ω=kπ\sqrt{\frac{g}{2h}}$，其中k=1，2，3…
    （3）因为二滴水离开O点的距离为${s_2}=\frac{1}{2}a{t^2}+（at）t$…①
         第三滴水离开O点的距离为${s}_{3}=\frac{1}{2}a{t}^{2}+（a2t）t$…②
         （上面①②两式中：$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$…③）
         又：$△θ=ωt=\frac{3}{2}π\sqrt{\frac{g}{2h}}×\sqrt{\frac{2h}{g}}=\frac{3}{2}π$
      即第二滴水和第三滴水分别滴落在圆盘上x轴方向及垂直x轴的方向上．
则：s₂²+s₃²=s²…④
     联列①②③④可得：$a=\frac{{\sqrt{73}}}{73}\frac{sg}{h}=0.117\frac{sg}{h}$．
答：（1）每一滴水离开容器后经过$\sqrt{\frac{2h}{g}}$时间滴落到盘面上；
（2）要使每一滴水在盘面上的落点都位于同一直线上，圆盘的角速度ω应为$kπ\sqrt{\frac{g}{2h}}$，其中k=1，2，3…；
（3）容器的加速度a为$0.117\frac{sg}{h}$．

点评 该题涉及到运动的合成与分解，圆周运动，匀变速直线运动的相关规律，特别注意水滴离开容器后做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，水平方向做匀速直线运动，综合性较强，难度较大．