Question

7．如图所示，倾角为α=45°的光滑固定斜面恰好在A点与左侧另一光滑环形轨道相切，并且环形轨道在A点上方恰好开有一小口．已知环形轨道的半径为R，O为圆心，整个装置处在水平向右的匀强电场中，电场强度为E，现在有一个质量为m的带电小球，以某一速度v₀沿斜面匀速下滑，然后从A点滑入光滑环形轨道，并且恰好能沿光滑环形轨道内侧做圆周运动，重力加速度为g．求：
（1）小球带何种电荷？电荷量q为多少？
（2）小球的速度v₀多大？

Answer 1

分析 （1）小球在斜面上匀速下滑，合力为零，根据平衡条件分析小球的电性，并求其电荷量．
（2）根据小球受力确定等效场的最高点，由牛顿第二定律求通过等效最高点的速度，再由动能定理求出小球的速度v₀．

解答 解：（1）小球在斜面上匀速运动时，受重力、电场力、支持力，电场力水平向右，所以小球带正电．
根据平衡条件得：qE=mgtan45°
可得 q=$\frac{mg}{E}$
（2）类比重力场，将电场力与重力的合力视为等效重力mg′，大小为mg′=$\sqrt{2}$mg，方向与斜面垂直向下
要使小球恰能通过圆轨道内侧做圆周运动，在圆轨道的等效最高点（设为D）点应满足：等效重力提供向心力，有：mg′=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
根据几何关系知，D点与A点关于O点对称，小球从A运动到D，由动能定理知：
-mg′•2R=$\frac{1}{2}$mv_D²-$\frac{1}{2}$mv₀²
解得 v₀=$\sqrt{5\sqrt{2}gR}$
答：
（1）小球带正电荷，电荷量q为$\frac{mg}{E}$．
（2）小球的速度v₀为$\sqrt{5\sqrt{2}gR}$．

点评 解决本题的关键确定等效场的最高点，求出最高点的临界速度，通过动能定理进行研究初速度．