题目内容

15．如图所示，轻绳通过两个滑轮一端与处于倾角为30°粗糙固定斜面上的物体A相连，另一端固定于天花板上．动滑轮挂上物体B后，两边轻绳的夹角保持90°不变且A、B均保持静止．已知物体A的质量为m，重力加速度为g，斜面与A的动摩
擦因数$μ=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，最大静摩擦力等于滑动摩擦力．不计滑轮质量及轻绳与滑轮的摩擦．
（1）当挂上的物体B质量也为m时，求此时轻绳拉力的大小．
（2）为使物体A保持不动，求所挂物体B的质量范围．

分析 先对A受力分析，运用共点力平衡条件求出细线的拉力；再对B受力分析，再次运用共点力平衡条件求出B的质量．

解答 解：（1）对物体B受力分析如图，由平衡条件得：
F合=mg=2Fcos45°  
所以  F=$\frac{\sqrt{2}}{2}mg$
（2）最大静摩擦力fmax=μN=μmgcos30°=$\frac{3}{4}$mg
重力沿斜面的分力：G1=mgsin30°=0.5mg
因为 fmax＞G1，所以当固定于天花板上的滑轮不挂物体，斜面上的物体A，不会下滑，此时mB质量最小为0；
当A物体受力情况如图所示且达到最大静摩擦力时，B物体质量最大：
根据平衡条件：F=${f}_{max}+{G}_{1}=\frac{3}{4}mg+0.5mg$=1.25mg
又由（1）可知：F=$\frac{\sqrt{2}}{2}{m}_{B}g$
所以：${m}_{B}=\frac{5\sqrt{2}}{4}m$
综上，物体B的质量范围为：0≤mB$≤\frac{5\sqrt{2}}{4}$m
答：（1）当挂上的物体B质量也为m时，此时轻绳拉力的大小是$\frac{\sqrt{2}}{2}mg$．
（2）为使物体A保持不动，所挂物体B的质量范围是0≤mB$≤\frac{5\sqrt{2}}{4}$m．

点评 本题关键是先后对物体A、B受力分析，根据共点力平衡条件，结合合成法或正交分解法列式求解．

练习册系列答案
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