题目内容

6．如图所示，高为L的斜轨道AB、CD与水平面的夹角均为45°，它们分别与竖直平面的圆弧形光滑轨道相切于B，D两点，圆弧的半径也为L，质量为m的小滑块从A点由静止滑下后，经CD轨道返回，在CD上到达的最高点离D点的竖直高度为$\frac{L}{4}$，再次冲上AB轨道至速度为零时，相对于BD面的高度为$\frac{L}{5}$，已知滑块与AB轨道间的动摩擦因数为μ1=0.5，重力加速度为g，求：

（1）滑块第一次经过圆轨道最低点时对轨道的压力F；
（2）滑块与CD面间的动摩擦因数μ2；
（3）经过足够长时间，滑块在两斜面上滑动的路程之和s．

分析 （1）对第一次滑到最低点的过程运用动能定理，求出最低点的速度，结合牛顿第二定律求出支持力的大小，从而得出滑块对最低点的压力大小．
（2）分别求出第一次到达D点和第二次到达D点的动能，通过在CD上运动损失的机械能求出动摩擦因数的大小．
（3）滑块在AB上从静止滑下到再次滑上AB并静止，其高度变为开始时的$\frac{1}{5}$，根据通项公式得出在AB上运动的路程，根据在BD间滑动损失的机械能，结合功能关系求出在CD上滑行的总路程，从而得出滑块在两斜面上滑动的路程之和．

解答 解：（1）对第一次滑动最低点的过程中运用动能定理得，$mg（L+L-Lsin45°）-μmgcos45°•\sqrt{2}L$=$\frac{1}{2}m{v}^{2}-0$，
在最低点，根据牛顿第二定律得F-mg=m$\frac{{v}^{2}}{L}$，
联立两式解得F=（$4-\sqrt{2}$）mg．
则第一次经过圆弧轨道最低点时对轨道的压力为（$4-\sqrt{2}$）mg．
（2）滑块第一次经过D时的动能为${E}_{1}=mgL-{f}_{1}×\sqrt{2}L=0.5mgL$，
第二次经过D时的动能为${E}_{2}=mg\frac{L}{5}+{f}_{1}×\sqrt{2}\frac{L}{5}=0.3mgL$，
设滑块在CD上的摩擦力为f2，f2=μ2mgcos45°，第一次在CD上静止时离BD面的高度为h，由功能关系得，
${E}_{1}=mgh+{f}_{2}×\sqrt{2}h=mgh+{μ}_{2}$mgh，
${E}_{1}-{E}_{2}=2{f}_{2}×\sqrt{2}h=2{μ}_{2}mgh$．
代入数据解得μ2=0.4．
（3）设滑块在AB、CD上滑动的总路程分别为s1、s2，由题设条件可知，滑块在AB上从静止滑下到再次滑上AB并静止，其高度变为开始时的$\frac{1}{5}$，则
${s}_{1}=\sqrt{2}（L+2（\frac{L}{5}+\frac{l}{{5}^{2}}+…）]$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}L$，
经过很长时间，滑块将保持在BD间滑动，损失的机械能为mgL=μ1mgcos45°•s1+μ2mgcos45°•s2，
解得${s}_{2}=\sqrt{2}L$．
所以s=${s}_{1}+{s}_{2}=\frac{5\sqrt{2}L}{2}$．
答：（1）滑块第一次经过圆轨道最低点时对轨道的压力F为（$4-\sqrt{2}$）mg．
（2）滑块与CD面间的动摩擦因数为0.4；
（3）经过足够长时间，滑块在两斜面上滑动的路程之和为$\frac{5\sqrt{2}}{2}L$．

点评 本题综合考查了动能定理、牛顿第二定律、功能关系的运用，对于（1）（2）两问难度不是太大，关键选择好研究的过程，选择合适的功能关系进行求解，第三问对数学能力的要求较高，是本题的压轴部分，需加强这方面的训练．

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