Question

如图，在竖直平面内有一固定光滑轨道，其中AB部分是倾角为37°的直轨道，BCD部分是以O为圆心、半径为R的圆弧轨道，两轨道相切于B点，D点与O点等高，A点在D点的正下方．质量为m的小球在沿斜面向上的拉力F作用下，从A点由静止开始做变加速直线运动，到达B点时撤去外力．已知小球刚好能沿圆轨道经过最高点C，然后经过D点落回到A点．已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度大小为g．求
（1）小球在C点的速度的大小；
（2）小球在AB段运动过程，拉力F所做的功；
（3）小球从D点运动到A点所用的时间．

Answer 1

分析：（1）已知小球刚好能沿圆轨道经过最高点C，由重力完全提供向心力，根据牛顿第二定律求解；
（2）先由几何关系求出AB的长度．小球从B到C段运动过程，运用机械能守恒列式；从A到B段运动过程，运用动能定理列式，即可求解；
（3）小球从C到D过程，运用机械能守恒列式，求出到达D点的速度大小；从C到A过程，运用机械能守恒列式，求出到达A点的速度大小．小球从D到A过程，由运动学公式求解时间．

解答：解：（1）在C点：由牛顿第二定律得，mg=m

v 2 C

R

解得：v_C=

gR

（2）已知θ=37°外力在AB段所做的功为W，由几何关系得：AB=

R+Rsinθ

cosθ

=2R
从B到C，根据机械能守恒定律

1

2

m

v

2 B

=

1

2

m

v

2 C

+mg（R+Rcosθ）
从A到B，根据动能定理，
 W-mg2Rsinθ=

1

2

m

v

2 B

联立解得：W=

7

2

mg
（3）从C到D，根据机械能守恒定律，
 

1

2

m

v

2 D

=

1

2

m

v

2 C

+mgR
解得：v_D=

3gR

从C到A，根据机械能守恒定律，

1

2

mv

2 A

=

1

2

m

v

2 C

+mg3R
解得：v_A=

7gR

从D到A做匀加速直线运动，根据运动学公式，
 AD=

1

2

(vD+vA)t
解得：t=（

7

-

3

）

R g

答：
（1）小球在C点的速度的大小为

gR

；
（2）小球在AB段运动过程，拉力F所做的功为

7

2

mg；
（3）小球从D点运动到A点所用的时间为（

7

-

3

）

R g

．

点评：本题主要考查了动能定理，运动学基本公式的直接应用，物体恰好通过C点是本题的突破口，这一点要注意把握，难度适中．