Question

17．如图所示，质量均为M的两个完全相同木板A、B置于水平地面上，相距s=4m，木板A、B的长度均为L=0.2m，一质量为M、可视为质点的物块C置于木板A的左端．已知物块C与木板A、B之间的动摩擦因数均为μ₁=0.40，木板A、B与水平地面之间的动摩擦因数为μ₂=0.10，最大静摩擦力可以认为等于滑动摩擦力，开始时，三个物体均处于静止状态．现给物块C施加一个水平方向右的恒力F，且F=0.3Mg，已知木板A、B碰撞后立即粘连在一起，速度变为碰前A速度的一半，碰后瞬间C的速度不变．

（1）从物块C开始运动到木板A与B相碰所经历的时间t；
（2）物块C在AB板上相对滑动的距离．

Answer 1

分析 （1）设木板A与物块C之间的滑动摩擦力大小为f₁，木板A与水平地面之间的滑动摩擦力大小为f₂，判断f₁和f₂的关系即可判断；
设此过程中它们的加速度为a，运动时间为t，与木板B相碰时的速度为v，根据牛顿第二定律及运动学基本公式列式即可求解；
（2）由题意可知，木板A、B碰撞后，物块C的速度和A、B碰后速度，根据牛顿第二定律求出物块C在木板上滑动的加速度和木板A、B共同运动的加速度为a_AB，
当三者的速度相同时，根据速度时间公式求出所用的时间，再根据位移时间公式求出物块C的位移和木板A、B的位移，二者的位移之差即为物块C在AB板上相对滑动的距离．

解答 解：（1）木板A与物块C之间的滑动摩擦力大小为：f₁=μ₁Mg=0.4Mg，
木板A与水平地面之间的滑动摩擦力大小为：f₂=μ₂（M+M）g=0.2Mg，
可见，f₂＜F＜f₁，故可知在木板A、B相碰前，在F的作用下，木板A与物块C一起水平向右做匀加速直线运动． 
设AC共同加速过程它们的加速度为a，运动时间为t₁，与木板B相碰时的速度为v，
根据牛顿第二定律可得：F-f₂=（M+M）a   …①
木板A运动的位移为：s=$\frac{1}{2}$at²  …②
速度为：v=at…③
联立①②③代入数据解得：t=4s，v=2m/s．
（2）碰撞后瞬间，物块C的速度不变，设A、B碰后速度为v′，
则v′=$\frac{v}{2}$=$\frac{2m/s}{2}$=1m/s，此即木板A、B共同运动的初速度，
此时物块C的速度为：v=2m/s
此后，物块C在木板上滑动时的加速度为a_C，
根据牛顿第二定律可得：F-f₁=Ma_C，
代入数据解得：a_C=-1m/s²，
物块C在木板上滑动时，木板A、B共同运动的加速度为a_AB，
其中：f₁-μ₂（Mg+2Mg）=2Ma_AB，
代入数据解得：a_AB=0.5m/s²，
设物块C再运动时间t′后，三者的速度相同时，则有：
v+a_Ct′=v′+a_ABt′，
代入数据解得：t′=$\frac{2}{3}$s，
在此过程中，物块C的位移为：
x_C=vt₂+$\frac{1}{2}$a_Ct′²=2×$\frac{2}{3}$m-$\frac{1}{2}$×1×（$\frac{2}{3}$）²m=$\frac{10}{9}$m，
木板A、B的位移为：
x_AB=$\frac{v}{2}$t′+$\frac{1}{2}$a_ABt′²=$\frac{2}{2}$×$\frac{2}{3}$m+$\frac{1}{2}$×0.5×（$\frac{2}{3}$）²m=$\frac{7}{9}$m
物块C在AB板上相对滑动的距离：
△x=x_C-x_AB=$\frac{10}{9}$m-$\frac{7}{9}$m=$\frac{1}{3}$m．
答：（1）从物块C开始运动到木板A与B相碰所经历的时间t为4s；
（2）物块C在AB板上相对滑动的距离为$\frac{1}{3}$m．

点评 本题关键通过受力分析，分析清楚物体的运动过程是正确解题的前提与关键，熟练牛顿第二定律及运动学基本公式综合列式求解，难度适中．