题目内容

3．如图所示，在xoy坐标系坐标原点O处有一点状的放射源，它向xoy平面内的x轴上方各个方向发射α粒子，α粒子的速度大小均为v0，在0＜y＜d的区域内分布有指向y轴正方向的匀强电场，场强大小为E=$\frac{3mv_0^2}{2qd}$，其中q与m分别为α粒子的电量和质量；在d＜y＜2d的区域内分布有垂直于xoy平面向里的匀强磁场，mn为电场和磁场的边界．ab为一块很大的平面感光板垂直于xoy平面且平行于x轴，放置于y=2d处，如图所示．观察发现此时恰好无粒子打到ab板上．（q、d、m、v0均为已知量，不考虑α粒子的重力及粒子间的相互作用），求：
（1）α粒子通过电场和磁场边界mn时的速度大小及此时距y轴的最大距离；
（2）磁感应强度B的大小；
（3）将ab板至少向下平移多大距离才能使所有的粒子均能打到板上？此时ab板上被α粒子打中的区域的长度．

分析 （1）根据动能定理求出α粒子刚进人磁场时的动能．
（2）粒子沿x轴正方向射出的粒子进入磁场偏转的角度最大，若该粒子进入磁场不能打在ab板上，则所有粒子均不能打在ab板上．根据带电粒子在电场中类平抛运动，求出进入磁场中的偏转角度，结合几何关系得出轨道半径，从而得出磁感应强度的大小．
（3）沿x轴负方向射出的粒子若能打到ab板上，则所有粒子均能打到板上．其临界情况就是此粒子轨迹恰好与ab板相切．根据带电粒子在磁场中运动的轨道半径大小得出磁场的宽度，从而确定出ab板移动的位置，根据几何关系求出ab板上被α粒子打中的区域的长度．

解答 解：
（1）根据动能定理：$Eqd=\frac{1}{2}m{v^2}-\frac{1}{2}mv_0^2$
可得：v=2v0
初速度方向与x轴平行的粒子通过边界mn时距y轴最远，由类平抛知识：
沿电场线方向上有：$d=\frac{1}{2}a{t^2}$
由牛顿第二定律可得：Eq=ma
垂直于电场线方向上有：x=v0t
解得：$x=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}d$
（2）根据上题结果可知：
对于沿x轴正方向射出的粒子进入磁场时与x轴正方向夹角：$θ=\frac{π}{3}$
易知若此粒子不能打到ab板上，则所有粒子均不能打到ab板，因此此粒子轨迹必与ab板相切，可得其圆周运动的半径：$r=\frac{2}{3}d$

又根据洛伦兹力提供向心力：$Bqv=\frac{{m{v^2}}}{r}$
可得：$B=\frac{{3m{v_0}}}{qd}$
（3）由分析可知沿x轴负方向射出的粒子若能打到ab板上，则所有粒子均能打到板上．其临界情况就是此粒子轨迹恰好与ab板相切．                               
由分析可知此时磁场宽度为原来的$\frac{1}{3}$，
则：ab板至少向下移动   $△y=\frac{2}{3}d$
沿x轴正方向射出的粒子打在ab板的位置粒子打在ab板区域的右边界
由几何知识可知：ab板上被粒子打中区域的长度：$L=2x+r=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}d+\frac{2}{3}d$
答：（1）α粒子通过电场和磁场边界mn时的速度大小为2v0；此时距y轴的最大距离$\frac{2\sqrt{3}d}{3}$；
（2）磁感应强度B的大小为$\frac{3m{v}_{0}}{qd}$
（3）将ab板至少向下平移$\frac{2d}{3}$才能使所有的粒子均能打到板上；此时ab板上被α粒子打中的区域的长度为$\frac{4\sqrt{3}}{3}d$+$\frac{2d}{3}$．

点评 本题考查了带电粒子在电场和磁场中的运动，关键确定粒子运动的临界情况，通过几何关系解决，对学生数学几何能力要求较高．

练习册系列答案
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