Question

14．1957年第一颗人造卫星送上天，开辟了人类宇航的新时代．近五十年来，人类不仅发射了人造地球卫星，还向宇宙空间发射了多个空间探测器．空间探测器要飞向火星等其他行星，甚至飞出太阳系，首先要克服地球对它的引力的作用．理论研究表明，物体在地球附近都受到地球对它的万有引力的作用，具有引力势能，设物体在距地球无限远处的引力势能为零，则引力势能可以表示为E=-G$\frac{Mm}{r}$，其中G是万有引力常量，M是地球的质量，m是物体的质量，r是物体距地心的距离．已知：现有一个空间探测器随空间站一起绕地球做圆周运动，运行周期为T，已知探测器的质量为m，地球半径为R，地面附近的重力加速度为g．求：
（1）该空间探测器环绕地球运动的线速度；
（2）要使这个空间探测器从空间站出发，脱离地球的引力作用，至少要对它做多少功．

Answer 1

分析 空间探测器随空间站一起绕地球做圆周运动，由地球的万有引力充当向心力，根据牛顿第二定律列式可求出空间站的轨道半径和速度，即可得到空间探测器具有的机械能．空间站要脱离地球的引力，机械能最小值为E_∞=0，根据功能关系求功．

解答 解：（1）空间探测器绕地球作圆周运动，由$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$得空间站的轨道半径为：r=$\root{3}{\frac{{GMT}^{2}}{4{π}^{2}}}$　　
随空间站一起运动时，空间探测器的速度为：v=$\frac{2πr}{T}$=$\frac{2π}{T}\root{3}{\frac{{GMT}^{2}}{4{π}^{2}}}$=$\root{3}{\frac{2πGM}{T}}$
（2）空间探测器的动能为：$\frac{1}{2}{mv}^{2}$=$\frac{m}{2}\root{3}{（\frac{2πGM}{T}）^{2}}$．
随空间站一起运动时，空间探测器具有的机械能为：
  E₁=-$G\frac{Mm}{r}$+$\frac{1}{2}{mv}^{2}$=$-\frac{GMm}{\root{3}{\frac{{GMT}^{2}}{4{π}^{2}}}}$+$\frac{m}{2}\root{3}{（\frac{2πGM}{T}）^{2}}$=-$\frac{m}{2}\root{3}{{（\frac{2πGM}{T}）}^{2}}$
空间站要脱离地球的引力，机械能最小值为E_∞=0，因此，对探测器做功为：
W=E_∞-E₁=$\frac{m}{2}\root{3}{{（\frac{2πGM}{T}）}^{2}}$　　　　　　
由地面附近的重力加速度g=G$\frac{M}{{R}^{2}}$ 得：W=$\frac{m}{2}\root{3}{{（\frac{2π{gR}^{2}}{T}）}^{2}}$　
答：（1）该空间探测器环绕地球运动的线速度为$\root{3}{\frac{2πGM}{T}}$．
（2）要使这个空间探测器从空间站出发，脱离地球的引力作用，至少要对它作$\frac{m}{2}\root{3}{{（\frac{2π{gR}^{2}}{T}）}^{2}}$的功．

点评 对于卫星类型，要根据其运动模型，由万有引力定律、圆周运动规律和功能关系求解．