Question

12．如图所示，由运载火箭将飞船送入近地点为A、远地点为B的椭圆轨道上，A点距地面的高度为h₁，飞船飞行五圈后进行变轨，进入预定圆轨道在预定圆轨道上飞行N圈所用时间为t．已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R．求：
（1）飞船在A点的加速度大小a_A；
（2）远地点B距地面的高度h₂；
（3）沿着椭圆轨道从A到B的时间t_AB．

Answer 1

分析 （1）由黄金代换确定出地球质量．飞船在A点由万有引力产生加速度求得加速度．
（2）根据万有引力提供向心力用周期关系即可求解高度；
（3）根据开普勒第三定律，结合椭圆轨道半长轴的大小，求出飞船在椭圆轨道上的周期，从而求出飞船由A点到B点所需的时间．

解答 解：（1）地表：GM=gR²　　①
在A点：a=$\frac{GM}{{r}^{2}}$=$\frac{GM}{（R+{h}_{1}）^{2}}$   ②
由①②式可得：a=$g\frac{{R}^{2}}{（R+{h}_{1}）^{2}}$
（2）在B点：$G\frac{M}{（R+{h}_{2}）^{2}}=m（R+{h}_{2}）\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$　③
由①③式可得：${h}_{2}=\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$-R　　而T=$\frac{t}{N}$，则h₂=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{t}^{2}}{4{π}^{2}{N}^{2}}}-R$
（3）根据题意得椭圆轨道的半长轴r=$\frac{2R+{h}_{1}+{h}_{2}}{2}$=$\frac{\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}+R+{h}_{1}}{2}$，设椭圆周期为T′
根据开普勒第三定律得：$\frac{{r}^{3}}{T{′}^{2}}=\frac{（R+{h}_{2}）^{3}}{（\frac{t}{N}）^{2}}$  得T′=$\sqrt{\frac{（\frac{t}{N}）^{2}{r}^{3}}{（R+{h}_{2}）^{3}}}$=$\sqrt{\frac{（{\frac{t}{N}）}^{2}（\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}+R+{h}_{1}）^{3}}{（R+{h}_{2}）^{3}}}$
则由A到B历时为$\frac{T′}{2}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{\frac{（{\frac{t}{N}）}^{2}（\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}+R+{h}_{1}）^{3}}{（R+{h}_{2}）^{3}}}$
答：（1）飞船在A点的加速度大小为$g\frac{{R}^{2}}{（R+{h}_{1}）^{2}}$
（2）远地点B距地面的高度为$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{t}^{2}}{4{π}^{2}{N}^{2}}}-R$

（3）沿着椭圆轨道从A到B的时间为$\frac{1}{2}$$\sqrt{\frac{（{\frac{t}{N}）}^{2}（\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}+R+{h}_{1}）^{3}}{（R+{h}_{2}）^{3}}}$

点评 本题主要考查了万有引力提供向心力公式的直接应用，注意选取适当的公式解题，难度适中；飞船由A点到B点所需的时间应是椭圆轨道的半个周期．关键掌握开普勒第三定律，并能灵活运用．