Question

10．如图所示，在xOy坐标系第二象限内有一圆形匀强磁场区域，半径为，圆心O′坐标为（-l₀，l₀），磁场方向垂直xOy平面．在x轴上有坐标（-l₀，0）的P点，两个电子a、b以相同的速率v沿不同方向从P点同时射入磁场，电子a的入射方向为y轴正方向，b的入射方向与y轴正方向夹角为θ=$\frac{π}{3}$．电子a经过磁场偏转后从y轴上的Q（0，l₀）点进人第一象限，在第一象限内紧邻y轴有沿y轴正方向的匀强电场，场强大小为$\frac{m{v}^{2}}{e{l}_{0}}$，匀强电场宽为$\sqrt{2}$l₀．已知电子质量为m、电荷量为e，不计重力及电子间的相互作用．求：
（1）磁场的磁感应强度B的大小
（2）b电子在磁场中运动的时间
（3）a、b两个电子经过电场后到达x轴的坐标差△x．

Answer 1

分析 （1）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，画出电子的运动轨迹，由几何关系可知电子的运动半径，由洛仑兹力充当向心力可求得磁感应强度B；
（2）由几何知识求出b电子在磁场中运动转过的圆心角，得到其运动周期，即可求出b电子在磁场中运动的时间．
（3）电子在电场中做类平抛运动，其中b粒子离开电场后做直线运动，由运动学规律可求得两电子到达x轴上的坐标值，进而求得坐标差．

解答 解：（1）两电子轨迹如图．
由图可知，a电子作圆周运动的半径 R=l₀
由牛顿第二定律得：Bve=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
可得：B=$\frac{mv}{e{l}_{0}}$
（2）由几何知识分析可知b电子在磁场中运动转过的圆心角为 $ϕ=\frac{5π}{6}$
b电子在磁场中运动的时间 ${t_b}=\frac{ϕ}{2π}T$
b电子在磁场中运动的周期为 $T=\frac{2πm}{Be}=\frac{{2π{l_0}}}{v}$
解得 ${t_b}=\frac{{5π{l_0}}}{6v}$
（3）在电场中 y=$\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}$
 加速度 a=$\frac{eE}{m}$          
 $\sqrt{2}$l₀=vt₁；  
代入y=l₀，即a电子恰好击中x轴上坐标为$\sqrt{2}$l₀的位置    
根据几何分析，PO′AO″为菱形，所以PO′与O″A平行．又因为PO′⊥x轴，O″A⊥x轴，所以粒子出场速度v_A平行于x轴，即b电子经过磁场偏转后，也恰好沿x轴正方向进入电场，有：
y_b=r+rcos30°=l₀+$\frac{\sqrt{3}}{2}$l₀     
当b沿y方向运动l₀后沿与x轴方向成α做匀速直线运动为：$tanα=\frac{v_⊥}{v}$
而 v_⊥=at
又由中点推论可得：$tanα=\sqrt{2}$
由$tanα=\frac{{{y_b}-{l_0}}}{△x}$         
解得：△x=$\frac{\sqrt{6}}{4}{l}_{0}$
答：（1）磁场的磁感应强度B的大小为$\frac{mv}{e{l}_{0}}$．
（2）b电子在磁场中运动的时间为$\frac{5π{l}_{0}}{6v}$．
（3）a、b两个电子经过电场后到达x轴的坐标差△x为$\frac{\sqrt{6}}{4}{l}_{0}$．

点评 本题考查带电粒子在磁场和电场中的运动，要注意电子在磁场中做匀速圆周运动，在磁场中做平抛运动，要求正确利用好几何关系进行分析．