Question

1．如图甲所示，两根足够长的光滑平行金属导轨相距l=0.4 m，导轨平面与水平面成θ=30°角，下端通过导线连接阻值R=0.5Ω的电阻．金属棒ab阻值r=0.3Ω，质量m=0.2kg，放在两导轨上，与导轨垂直并保持良好接触．其余部分电阻不计，整个装置处于垂直导轨平面向上的匀强磁场中．取g=10 m/s²．
（1）若磁场是均匀增大的匀强磁场，在开始计时即t=0时刻磁感应强度B₀=2.0T，为保持金属棒静止，作用在金属棒上平行斜面向上的外力F随时间t变化的规律如图乙所示，求磁感应强度B随时间t变化的关系．
（2）若磁场是磁感应强度大小恒为B₁的匀强磁场，通过额定功率P=10W的小电动机对金属棒施加平行斜面向上的牵引力，使其从静止开始沿导轨做匀加速度直线运动，经过$\frac{8}{7}$ s电动机达到额定功率，此后电动机功率保持不变，金属棒运动的v-t图象如图丙所示．试求磁感应强度B₁的大小和小电动机刚达到额定功率时金属棒的速度v₁的大小？

Answer 1

分析 （1）由磁场的变化均匀，可知产生的感应电流是恒定的，则金属棒受到的安培力恒定，又金属棒静止，由受力平衡可得磁感应强度与时间关系．
（2）金属棒达到最大速度时，合力为零，由额定功率可以求得此时的牵引力，由感应电动势可以求得感应电流，进而得到安培力，带入平衡方程可得B₁，同理可以求得小电动机刚达到额定功率时金属棒的速度v₁的大小．

解答 解：（1）由于磁场均匀增大，所以金属棒中的电流I大小保持不变，安培力F_安方向沿斜面向下，设任意时刻t磁感应强度为B，金属棒静止，合外力为零，则有：
F=mgsinθ+BIl
由图乙可知在任意时刻t外力为：F=（2+t）N
在t=0时刻有：F₀=mgsinθ+B₀Il
由图可知，F₀=2 N
解得：B₀=2T；
联立解得：B=（2+2t） T
（2）由图丙可知，金属棒运动的最大速度v_m=5 m/s，此时金属棒所受合力为零，设金属棒此时所受拉力大小为F_m，流过棒中的电流为I_m，则
最大功率P=F_mv_m
由平衡条件可得：F_m-mgsinθ-B₁I_ml=0
最大电动势为：E_m=B₁lv_m
最大电流为：I_m=$\frac{{E}_{m}}{R+r}$
即：$\frac{P}{{v}_{m}}$-mgsinθ-$\frac{{B}_{1}^{2}{l}^{2}{v}_{m}}{R+r}$=0
代入数据解得：B₁=1T
小电动机刚达到额定功率时，设金属棒所受拉力大小为F₁，加速度大小为a，运动的速度大小为v₁，流过金属棒的电流为I₁，根据牛顿第二定律得：
F₁-mgsinθ-B₁I₁l=ma
由功率公式可得：P=F₁v₁
匀加速过程的末速度：v₂=at
产生的电动势为：E₁=B₁lv₁
感应电流为：I₁=$\frac{{E}_{1}}{r+R}$
即：$\frac{P}{{v}_{1}}$-mgsinθ-$\frac{{B}_{1}{l}^{2}{v}_{1}}{R+r}$=$\frac{m{v}_{1}}{t}$
代入数据解得：v₁=4m/s
答：（1）磁感应强度B随时间t变化的关系B=（2+2t） T．
（2）磁感应强度B₁的大小为1T，小电动机刚达到额定功率时金属棒的速度v₁为4m/s

点评 本题考查导体切割磁感线中的功能关系以及动力学的分析，解题的重点是对给定的图象的识别，要能从图象中识别出来力的变化，物体运动的变化才能明确物理过程，再正确选择物理规律分析求解即可．