Question

13．如图所示，正三角形ABC边长2L，三角形内存在垂直纸面的匀强磁场，磁感应强度为B．从AB边中点P垂直AB向磁场内发射一带电粒子，粒子速率为v₀，该粒子刚好从BC边中点Q射出磁场．
（1）求粒子的比荷$\frac{q}{m}$
（2）若从P向磁场内各方向以相同速率$\frac{\sqrt{3}}{2}$v₀发射同样粒子，求AC边上有粒子到达的区域长度S．

Answer 1

分析 （1）画出粒子运动的轨迹，结合几何关系求出半径，然后又洛伦兹力提供向心力即可求出；
（2）由洛伦兹力提供向心力先求出粒子运动的半径，然后通过作图，结合几何关系即可求出．

解答 解：（1）由于粒子从AB边中点P垂直AB向磁场内发射一带电粒子，该粒子刚好从BC边中点Q射出磁场，画出粒子运动的轨迹如图1，可知粒子的半径等于PB即：${r}_{1}=\overline{PB}=\frac{1}{2}AB=L$．
粒子运动的过程中，洛伦兹力提供向心力，所以：$q{v}_{0}B=\frac{m{v}_{0}^{2}}{{r}_{1}}$
得：${r}_{1}=\frac{m{v}_{0}}{qB}$
所以：$\frac{q}{m}=\frac{{v}_{0}}{B{r}_{1}}=\frac{{v}_{0}}{BL}$

（2）若从P向磁场内各方向以相同速率$\frac{\sqrt{3}}{2}$v₀发射同样粒子，粒子的半径：${r}_{2}=\frac{mv′}{qB}$=$\frac{BL}{{v}_{0}}•\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}{v}_{0}}{B}=\frac{\sqrt{3}}{2}L$
由题意可知，沿PA方向入射的粒子打到AC上的点距离A最近，这种情况下，粒子运动轨迹的圆心O₁位于AP的连线上，如图2，由于：$CP=\overline{AC}•sin60°=2L•sin60°=\sqrt{3}L$
则：$\overline{{O}_{1}}P={r}_{2}=\frac{1}{2}CP$
所以：△CMO₁是等腰三角形，$\overline{CM}=2{r}_{2}•cos∠ACP=2{r}_{2}•cos30°=1.5L$
则：$\overline{AM}=0.5L=\overline{AP}cos60°$
所以PM的连线垂直于AC边．
当粒子运动轨迹与直线AC相切时，打到AC边的粒子距离A点最远，这种情况下，粒子运动轨迹的圆心是O₂，如图2；由图中的几何关系可知，P点到最小AC 的距离：
$s=\overline{AP}•sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}L$
所以：$s=\overline{AP}=\overline{N{O}_{2}}=\overline{P{O}_{2}}$
所以四边形PMNO₂是正方向，N到M点的距离：$S={r}_{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}L$
答：（1）粒子的比荷$\frac{q}{m}$S是$\frac{{v}_{0}}{BL}$；
（2）若从P向磁场内各方向以相同速率$\frac{\sqrt{3}}{2}$v₀发射同样粒子，AC边上有粒子到达的区域长度是$\frac{\sqrt{3}}{2}L$．

点评 该题考查带电粒子在磁场中的运动，解题的关键是要结合几何关系找出当从P点以相同速率$\frac{\sqrt{3}}{2}$v₀发射同样粒子时，距离A最近的点的位置和距离A最远的点的位置．