Question

4．如图所示，在xOy平面内，第一象限中有匀强电场，场强大小为E，方向沿y轴正方向．在x轴的下方有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里．今有一个质量为m、电荷量为q的带负电的粒子（不计粒子的重力和其他阻力），从y轴上的P点以初速度v₀垂直于电场方向进入电场．经电场偏转后，沿着与x轴正方向成30°角的方向进入磁场．
（1）求P点离坐标原点O的距离h；
（2）求粒子从P点出发到粒子第一次离开磁场时所用的时间；
（3）其他条件不改变，只改变磁感应强度，当磁场的磁感应强度B取某一合适的数值，粒子离开磁场后能否返回到原出发点P，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）粒子经电场偏转后，沿着与x轴正方向成30°进入磁场，根据速度的方向结合平行四边形定则求出速度的大小，通过动能定理求出P点离坐标原点O的距离h．
（2）粒子在电场中做类平抛运动，在磁场中做匀速圆周运动，结合在电场中竖直方向上的分速度求出在电场中的运动时间，根据几何关系求出在磁场中运动的圆心角，结合周期公式求出粒子在磁场中的运动时间，从而得出粒子从P点出发到粒子第一次离开磁场时所用的时间．
（3）粒子进磁场和出磁场的速度方向与x轴的夹角相等，磁感应强度变化，轨道半径随着变化，出射点的位置随着变化，出磁场后做匀速直线运动，可以返回出发点P．

解答 解：（1）带电在电场中做类平抛运动，由速度分解可得：
粒子进入磁场时竖直分速度 v_y=v₀tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}{v}_{0}$
速度为 v=$\frac{{v}_{0}}{cos30°}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$v₀
粒子在电场中运动过程，根据动能定理得：qEh=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-$\frac{1}{2}$mv₀²
联立解得：h=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{6qE}$．
（2）在电场中运动的时间 t₁=$\frac{{v}_{y}}{a}$
加速度 a=$\frac{qE}{m}$
解得 t₁=$\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}}{3qE}$
在磁场中运行的时间，由几何关系知：t₂=$\frac{300°}{360°}$T=$\frac{5}{6}$T
而周期 T=$\frac{2πm}{qB}$
则t₂=$\frac{5πm}{3qB}$
所以共用时间 t=t₁+t₂=$\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}}{3qE}$+$\frac{5πm}{3qB}$．
（3）能够返回到出发点P，只要B连续变化，则圆的半径就连续变化，由几何关系知，粒子在x轴上离开磁场的位置就可以连续变化，在第三象限没有电场和磁场，粒子在该象限做匀速直线运动，每次运动方向都与x轴正向成30度角，当B取某一合适数值时，粒子能够回到出发点．
答：
（1）P点离坐标原点O的距离h为$\frac{m{v}_{0}^{2}}{6qE}$．
（2）粒子从P点出发到粒子第一次离开磁场时所用的时间为$\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}}{3qE}$+$\frac{5πm}{3qB}$．
（3）粒子能够回到出发点P．

点评 本题考查了带电粒子在电场中和磁场中的运动，知道粒子在电场中做类平抛运动，在磁场中做圆周运动，结合运动学公式灵活求解．