Question

13．如图所示，在同一水平面上的两根光滑绝缘轨道，左侧间距为2l，右侧间距为l，有界匀强磁场仅存在于两轨道间，磁场的左右边界（图中虚线）均与轨道垂直．矩形金属线框abcd平放在轨道上，ab边长为l，bc边长为2l．开始时，bc边与磁场左边界的距离为2l，现给金属线框施加一个水平向右的恒定拉力，金属线框由静止开始沿着两根绝缘轨道向右运动，且bc边始终与轨道垂直，从bc边进入磁场直到ad边进入磁场前，线框做匀速运动，从bc边进入右侧窄磁场区域直到ad边完全离开磁场之前，线框又做匀速运动．线框从开始运动到完全离开磁场前的整个过程中产生的热量为Q．问：
（1）线框ad边刚离开磁场时的速度大小是bc边刚进入磁场时的几倍？
（2）磁场左右边界间的距离是多少？
（3）线框从开始运动到完全离开磁场前的最大动能是多少？

Answer 1

分析 （1）bc边刚进入磁场和ad边刚离开磁场时，线框均做匀速直线运动，即两个时刻bc边和ad边所受的安培力分别等于外力F，结合安培力计算公式F_A=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$，可求得bc边刚进入磁场时速度v₁和ad边刚离开磁场时速度v₂之比
（2）当ad边刚进入磁场到bc边刚进入右边窄磁场区域的过程中线框在外力F的作用下做匀加速度运动，设此段距离为s₁；根据题意可知，bc刚进入左侧宽磁场和右侧窄磁场时的速度分别为v₁、v₂，结合运动学公式可算出s₁，又因为bc刚进入右侧窄磁场到ad离开磁场的过程中始终做匀速直线运动，故可知右侧窄磁场的宽度为l，则左右磁场的宽度为s₁+2l
（3）整个过程中，只有拉力F和安培力对线框做功，线框离开磁场之前，动能最大，设最大动能为E_k，由动能定理：W_F+W_安=E_k-0，由：W_F=F（2l+s+l）=35Fl、W_安=-F×3l 及Q=-W_安，即可计算出安培力所做的功．

解答 解：（1）设磁感强度为B，设线框总电阻为R，线框受的拉力为F，bc边刚进磁场时的速度为v₁，则感应电动势为：E₁=2Blv₁
感应电流为：I₁=$\frac{{E}_{1}}{R}$
线框所受安培力为：F₁=2BI₁l
线框做匀速运动，其受力平衡，即：F₁=F
联立各式得：${v}_{1}=\frac{FR}{4{B}^{2}{l}^{2}}$
设ad边离开磁场之前，线框做匀速运动的速度为v₂，同理可得：${v}_{2}=\frac{FR}{{B}^{2}{l}^{2}}$
所以：v₂=4v₁
（2）bc边进入磁场前，线框做匀加速运动，设加速度为a，bc边到达磁场左边界时，线框的速度为：${v}_{1}=\sqrt{2a×2l}=2\sqrt{al}$，
从ad边进入磁场到bc边刚好进入右侧窄磁场区域的过程中线框的加速度仍为a，由题意可知bc边刚进入右侧窄磁场区域时的速度为：v₂=4v₁，
v₂=4v₁=$8\sqrt{al}$从线框全部进入磁场开始，直到bc边进入右侧窄磁场前，线框做匀加速运动，设位移为s₁，${s}_{1}=\frac{{v}_{2}^{2}-{v}_{1}^{2}}{2a}$，将${v}_{1}=2\sqrt{al}$，${v}_{2}=8\sqrt{al}$   代入得：s₁=30lm
磁场左右边界间的距离为：s=l+s₁+l=32lm
（3）整个过程中，只有拉力F和安培力对线框做功，线框离开磁场之前，动能最大，设最大动能为E_k，由动能定理有：W_F+W_安=E_k-0，
由：W_F=F（2l+s+l）=35Fl
W_安=-F×3l 及Q=-W_安，
可知：${W}_{F}=\frac{35}{3}Q$
线框的最大动能为：${E}_{k}=\frac{35}{3}Q-Q=\frac{32}{3}Q$
答：（1）线框ad边刚离开磁场时的速度大小是bc边刚进入磁场时速度的4倍
（2）磁场左右边界间的距离是32l
（3）线框从开始运动到完全离开磁场前的最大动能是$\frac{32}{3}Q$

点评 （1）本题考查了导体棒在场中运动的力学问题和能量问题，涉及的知识点有：导体棒切割磁感线时，感应电动势、感应电流、安培力的计算，动能定理和运动学公式
（2）计算线框ad边刚离开磁场时的速度大小与bc边刚进入磁场时速度的关系时，安培力的计算是关键
（3）计算磁场左右边界的距离时，分析线框的运动过程是关键